POJ3017 Cut the Sequence
题目大意
给定一个一个长度为 \(N\) 的序列 \(A\)，要求把该序列划分成若干段，其中每一段中的数的和不大于 \(M\)，现在需要使得每一段中数的最大值的和最小，求该最小值。
\[0 \leq n \leq 10^5 \\
0 \leq m \leq 10^{11} \\
0 \leq a_i \leq 10^6
\]
解题思路
可以想到动态规划，设 \(f(i)\) 表示考虑前 \(i\) 位的划分时的答案。
容易有状态转移方程：
\[f(i) = \max\{ f(j) + max\{a_{j+1} \dots a_i\} \},(sum\{a_{j+1} \dots a_i\} \leq m)
\]
有一个比较显然的性质，\(f\) 是单调不降的。
故我们做出以下思考，设 \(max\{a_{j+1} \dots a_i\} = a_k\)，即最大值下标为 \(k\)。
那么：
\[\begin{aligned}
f(i) &= \max\{f(j) + a_k\} \\
&= \max\{f(j)\} + a_k
\end{aligned}
\]
根据上面提到的性质，此时，\(j\) 当然越小越好。
总结一下，即，对于 \(a_k = max\{a_{j+1} \dots a_i\}\)，\(j\)最小时转移 \(f(i) = f(j) + a_k\)。
形象的说，对于 \(a_k\) 我们取其 管辖区间 （即使得其为最大值的区间）的左端点转移。
我们考虑如何求出这些区间。
我们从前往后依次遍历原序列，同时维护一个下降的单调队列，对于其中的 \(q_i\) 其的 管辖区间 即为 \([q_{i-1}+1,i]\)，其余的点无法成为最大值，不需要转移。
对于队头元素，其 管辖区间 的左端点即满足转移方程中的条件 \(sum\{a_{j+1} \dots a_i\} \leq m\)，这个用前缀和加一个指针就可以做到（利用前缀和的单调性）。
我们得知了队列中的每一个点的 管辖区间 的左端点，用一个 multiset 动态维护（在加入和弹出队列时操作 multiset）。
值得注意的是，队首元素的左端点随 \(i\) 变化，不使用 multiset 维护，单独转移。
参考代码
//#include<bits/stdc++.h>
#include<set>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define int long long
const int maxn=1e5;
int n,m;
int a[maxn+5];
int s[maxn+5];
int f[maxn+5];
int q[maxn+5],l,r;
multiset<int> c;
signed main(){int k;scanf("%lld%lld",&n,&m);for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%lld",&a[i]),s[i]=s[i-1]+a[i];k=0,l=1,r=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(a[i]>m){puts("-1");return 0;}while(s[i]-s[k]>m) k++;while(l<=r&&a[q[r]]<=a[i]){if(l<r) c.erase(c.find(f[q[r-1]]+a[q[r]]));r--;}q[++r]=i;if(l<r) c.insert(f[q[r-1]]+a[q[r]]);while(l<=r&&q[l]<=k){if(l<r) c.erase(c.find(f[q[l]]+a[q[l+1]]));l++;}f[i]=f[k]+a[q[l]];if(l<r) f[i]=min(f[i],*c.begin());}printf("%lld",f[n]);return 0;
}
