2024.7.9 鲜花

頭ン痛 - feat. 重音テト

我没找到 QaQ

prufer 序列，简单来说就是 \(n\) 个节点的树双射一个长度 \(n-2\) 值域 \([1,n]\) 的序列。

构造过程就是每次删一个编号最小叶子，记录其父节点。

本图来自baoziwu2,侵删

显然堆 \(n\log n\) 可做，也可以扫一遍所有标号，对于已经删除的父节点，判断其度数和标号是否该选，分讨可做 \(O(n)\)

然后有定理：

\(k\) 个点完全图有 \(k^{k-2}\) 棵生成树。

\(n\) 个点的图有 \(k\) 个联通块，第 \(i\) 个联通块点数为 \(s_i\) ，添加 \(k-1\) 条边使其联通，有 \(n^{k-2}\times \prod\limits_{i=1}^ks_i\) 种方案。

证明可以考虑缩点后为生成树，考虑每个联通块内的点个数，可以得到。

例题 P6596 How Many of Them

简要题解

首先将至多容斥成至少，然后考虑可以先求出有 \(m+1\) 个连通块的个数，可以 dp，在加 \(m\) 条边联通，乘上 \(n^{k-2}\times \prod\limits_{i=1}^ks_i\) 即可。

直接 \(DP\) 是 \(n^3\)，可以用多项式优化到 \(n^2\log n\)，但我不会

图——from STA-Morlin