模拟退火学习笔记

模拟退火学习笔记

前言

不知道为啥突然有闲情学这个...

模拟退火 (Simulated Annealing) , 简称 \(SA\) .

是一种基于随机化的算法，无门槛，主要是为了骗分...

不是正解！！！！

根据 爬山算法 的过程，我们发现：对于一个当前最优解附近的非最优解，爬山算法直接舍去了这个解。而很多情况下，我们需要去接受这个非最优解从而跳出这个局部最优解，即为模拟退火算法。

关于退火

什么是退火?

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

贺的百度百科

设 \(E| \{x_i\} |\) 表示某一物质体系在微观状态 \(\{x_i\}\) 下的内能，对于给定温度 \(T\) , 若体系处于热平衡态时， \(E |\{x_i\}|\) 服从 Boltzmann 分布：

\[f = c(T) \times e ^ {- \frac{E|\{x_i\}|}{k \times T}} \]

其中 \(k\) 为 Boltzmann 常数。
\(T\) 下降， \(E\) 随之下降。只要温度下降足够慢，体系可以长久保持热平衡态。

当我们退火时，刚开始的时候温度高，分子运动剧烈，变化率较高；

然而对于温度降下来之后，分子逐渐趋于稳定，于是分子变化比较小。

模拟退火，就是模拟的这个过程。

具体实现

当然，什么都不能摆脱随机化。

我们设初始温度 \(T_0 > 1000\) , 降温系数 \(\zeta = \{0.996 , 0.995 , \dots\}\) , 末尾温度 \(T_k > 0\) , 在 \(10 ^ {-15}\) 左右 .

对于我们的新横坐标来说，显然他要有局部的特性，并随时间的延长，温度下降，转移地方要更加稳定，就是离旧的横坐标近一点，因此在随机时要有 \(T\) 这个自变量。

然而对于我们新的这个值 \(y\) , 旧的值为 \(x\) , \(\Delta = y - x\)

退火的过程、转移的概率如下：

\[P(x , y) = \begin{cases}1 \ , \ \Delta < 0 \\e ^ {- \frac{\Delta}{T}} \ , \ \Delta > 0\end{cases}\]

为什么会存在第二种转移呢？

是为了跳出局部最优解，可能进入新的更优解的地方。

贴图：

具体实现 [JSOI2004] 平衡点 / 吊打XXX

题目描述

如图，有 \(n\) 个重物，每个重物系在一条足够长的绳子上。

每条绳子自上而下穿过桌面上的洞，然后系在一起。图中 \(x\) 处就是公共的绳结。假设绳子是完全弹性的（即不会造成能量损失），桌子足够高（重物不会垂到地上），且忽略所有的摩擦，求绳结 \(x\) 最终平衡于何处。

注意：桌面上的洞都比绳结 \(x\) 小得多，所以即使某个重物特别重，绳结 \(x\) 也不可能穿过桌面上的洞掉下来，最多是卡在某个洞口处。

\(1\le n\le 1000\)

\(-10000\le x_i,y_i\le10000, 0<w_i\le1000\)】

题解

假设平衡点坐标为 \((X , Y)\)

那么对于一个重物(坐标为 \(x_i , y_i\) )贡献的重力势能为：

\(E = \sqrt{(X - x_i) ^ 2 + (Y - y_i) ^ 2} \times w_i\)

我们是需要将所有的势能和最小化即可。

注意因为我们为了让答案尽可能的对， $SAS 过程要跑很多遍。

CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std ;
#define int long long 
const int N = 2e5 + 100 ; 
inline int read() {int x = 0 , f = 1 ; char c = getchar() ; while (c < '0' || c > '9') {if (c == '-') f = -f ; c = getchar() ; }while (c >= '0' && c <= '9') {x = x * 10 + c - '0' ; c = getchar() ; }return x * f ; 
}struct Physics {int x , y , gravity ; 
} a[N] ; 
int n ; double first , second , ans = 1000000000 , averx , avery ; void Energy(double x , double y , double & statics) {statics = 0 ; for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {statics += sqrt((x - a[i].x) * (x - a[i].x) + (y - a[i].y) * (y - a[i].y)) * a[i].gravity ; }
}void SA() {double T = 3000 ; double x = first , y = second , now , delta_E ; while (T > 1e-16) {x = first + (rand() * 2ll - RAND_MAX) * T ; y = second + (rand() * 2ll - RAND_MAX) * T ; Energy(x , y , now) ; delta_E = now - ans ; if (delta_E < 0) {ans = now , first = x , second = y ; } else if (exp(- delta_E / T) * RAND_MAX > rand()) {first = x , second = y ; }T *= 0.996 ; }
}inline void solve() {SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; SA() ; 
}double sumx , sumy ; 
signed main() {srand((unsigned long long)(new char)) ; n = read() ; for (int i = 1 ; i <= n ; ++ i) {a[i] = {read() , read() , read()} ; sumx += a[i].x ; sumy += a[i].y ; }averx = 1.0 * sumx / n ; avery = 1.0 * sumy / n ; Energy(averx , avery , ans) ; first = averx , second = avery ; solve() ; printf("%.3lf %.3lf" , first , second) ; 
}

结尾撒花 \(\color{pink}{✿✿ヽ(°▽°)ノ✿}\)