2024暑假集训测试14

前言

• 比赛链接。

最可惜的一点还是本来 T3 暴力能拿 \(20\)，优化成 \(15\) 了，不然就 rk2 了，晚上可能又有泡面吃了。

不过因为 T2、T4 两道水题，剩下两道不太可做（至少对于我是这样的），这两题不挂分的打的貌似都不错。

T3 没学过莫反输麻了。

T1 黑暗型高松灯

本来应该是 T4，学长特意把 T1、T4 swap 了，不可做题，学长和我们说用处不大可以不用改，是什么势能函数之类的东西，听都没没听过。

T2 速度型高松灯

• 原题：P3216 [HNOI2011] 数学作业。

做过原题？赛时忘了做过当新题做的，赛后找原题才发现做过。

设 \(t\) 表示当前数字的位数，有 \(f_x = f_{x-1} \times 10^t + x\) ，位数一样的矩阵快速幂，位数不同的两个连接点特殊处理即可。

对于位数一样的，有：

\[\begin{bmatrix} dp_i\\ i\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10^k & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} dp_{i-1}\\ i-1\\ 1 \end{bmatrix} \]

我这个做法不开 __int128 会炸。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define ll __int128
#define endl '\n'
#define sort stable_sort
using namespace std;
const int N=1e5+10;
template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
{x=0;register bool z=true;register char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x=(z?x:~x+1);
}
template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
{if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
template<typename Tp> inline void write(Tp x)
{if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
ll n,m,P,a[10][10],ans[10][10],c[10][10],last,ans1,ans2,anss;
ll qpow(ll a,ll b)
{ll ans=1;for(;b;b>>=1){if(b&1) ans*=a;a*=a;}return ans;
}
void qpow(ll b)
{memset(ans,0,sizeof(ans));for(int i=1;i<=3;i++) ans[i][i]=1;for(;b;b>>=1){if(b&1){for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++)for(int k=1;k<=3;k++)(c[i][j]+=(ans[k][j]*a[i][k])%P)%=P;for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++){ans[i][j]=c[i][j];c[i][j]=0;}}for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++)for(int k=1;k<=3;k++)(c[i][j]+=(a[i][k]*a[k][j])%P)%=P;for(int i=1;i<=3;i++)for(int j=1;j<=3;j++){a[i][j]=c[i][j];c[i][j]=0;}}
}
signed main()
{read(n),read(P);ll y=n;while(y) {m++; y/=10;}for(int i=1;i<=m;i++){ll t=qpow(10,i);a[1][1]=t,a[2][1]=1,a[3][1]=1;a[1][2]=0,a[2][2]=1,a[3][2]=1;a[1][3]=0,a[2][3]=0,a[3][3]=1;ll x=t/10;if(i!=m) qpow(t-x-2);else {if(n>x) qpow(n-x-1);else {anss=((last*t)%P+x)%P;break;}}ans2=((last*t)%P+x)%P;ans1=((ans2*t)%P+x+1)%P;anss=(((ans1*ans[1][1])%P+((x+1)*ans[2][1])%P)%P+1*ans[3][1])%P;last=anss;}write(anss);
}

T3 力量型高松灯

• 原题：P6156 简单题，加强版：P6222 「P6156 简单题」加强版。

• 部分分 \(20pts\)：\(O(n^2\log n)\) 暴力，预处理可到 \(O(n^2)\)。

• 正解：

  大多数人能一眼看出莫反，到我没学过，赛后找了篇博客但没认真学，就看了看到把题解看懂的地步，有时间再系统学。

  就看到了一个 \((\sum\limits_{d|n}\mu(d))=[n=1]\) 做这题有用的，剩下的都是套路。

  \[\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^k\mu^2(\gcd(i,j))\gcd(i,j)\\ =&\sum_{d=1}^n\mu^2(d)d\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n(i+j)^k[\gcd(i,j)=d]\\ =&\sum_{d=1}^n\mu^2(d)d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}(d(i+j))^k[\gcd(i,j)=1]\\ =&\sum_{d=1}^n\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}(i+j)^k[\gcd(i,j)=1]\\ =&\sum_{d=1}^n\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}(i+j)^k\sum_{e|i,e|j}\mu(e)\\ =&\sum_{d=1}^n\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{de}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n{de}\rfloor}(e(i+j))^k\sum_{e|i,e|j}\mu(e)\\ =&\sum_{e=1}^n\mu(e)e^k\sum_{d=1}^{\lfloor\frac ne\rfloor}\mu^2(d)d^{k+1}\sum_{i=1}^{\lfloor\frac n{de}\rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor\frac n{de}\rfloor}(i+j)^k\\ =&\sum_{T=1}^nS\left(\left\lfloor\frac nT\right\rfloor\right)T^k\sum_{d|T}\mu^2(d)\mu\left(\frac Td\right)d \end{aligned} \]

  其中 \(S(n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(i+j)^k\)。

  问题来到怎么求 \(S(n)\) 和它后面那一坨。

  先求后面那一坨，设 \(f(n)=\sum\limits_{d|T}\mu^2(d)\mu\left(\frac Td\right)d\)，因为其内部均为积性函数，故 \(f(n)\) 也是积性函数，对于质数 \(p\)，其次方为 \(c\) 。

  • 若 \(c=1\)，满足积性。
  • 若 \(c=2\)，\(f(p^2)=\mu^2(p^2)\mu(1)p^2+\mu^2(p)\mu(p)p+\mu^2(1)\mu(p^2)\times 1=-p\)。】
  • 若 \(c>2\)，任意组合均能使 \(\mu(d),\mu(\frac Td)\) 中的一个为 \(0\)，故结果一定为 \(0\)。

  线性筛的时候直接处理即可。

  来看 \(S(n)\)，设 \(F(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k\)，\(G(n)=\sum\limits_{i=1}^nF(i)\)，那么有 \(S(n)=G(2n)-2G(n)\)，证明比较显然，可以手摸一下，也可以数学归纳。

  由于 \(i^k\) 也是积性函数，筛的时候直接处理即可。

  最后数论分块处理答案即可。

  点击查看代码

  #include<bits/stdc++.h>
  #define ll long long 
  #define endl '\n'
  #define sort stable_sort
  using namespace std;
  const int N=1e7+10,P=998244353;
  template<typename Tp> inline void read(Tp&x)
  {x=0;register bool z=true;register char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) if(c=='-') z=0;for(;'0'<=c&&c<='9';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);x=(z?x:~x+1);
  }
  template<typename Tp> inline void wt(Tp x)
  {if(x>9)wt(x/10);putchar((x%10)+'0');}
  template<typename Tp> inline void write(Tp x)
  {if(x<0)putchar('-'),x=~x+1;wt(x);}
  ll n,k,tot,cnt,ans,prime[N],f[N],g[N];
  bool vis[N];
  ll qpow(ll a,ll b)
  {ll ans=1;for(;b;b>>=1){if(b&1) (ans*=a)%=P;(a*=a)%=P;}return ans;
  }
  void sieve()
  {f[1]=g[1]=1;for(int i=2;i<=2*n;i++){if(!vis[i]){prime[++tot]=i;f[i]=i-1;g[i]=qpow(i,k);}for(int j=1;j<=tot&&i*prime[j]<=2*n;j++){vis[i*prime[j]]=1;g[i*prime[j]]=g[i]*g[prime[j]]%P;if(i%prime[j]==0){if((i/prime[j])%prime[j]!=0)f[i*prime[j]]=(P-prime[j])*f[i/prime[j]]%P;break;}f[i*prime[j]]=f[i]*f[prime[j]]%P;}}for(int i=2;i<=2*n;i++) {f[i]=(f[i-1]+f[i]*g[i]%P)%P;g[i]=(g[i-1]+g[i])%P;}for(int i=2;i<=2*n;i++) g[i]=(g[i-1]+g[i])%P;
  }
  ll s(ll x)
  {return (g[x<<1]-2*g[x]%P+P)%P;
  }
  signed main()
  {read(n),read(k);sieve();for(ll l=1,r=0;l<=n;l=r+1){r=n/(n/l);(ans+=s(n/l)*((f[r]-f[l-1]+P)%P)%P)%=P;}write(ans);
  }
  

T4 高松灯

看题名就知道签到题，要么取自己要么第一位取次大值后面全取 \(9\)，但我赛时想都没想搞了个数位 DP 上去。

总结

没学过的知识点还是太多，这次只挂了 \(5pts\) 而且打的不是很唐，所以好像没啥心得，好多题逆推退不出来想想正推，反过来也是，T2 倒推半天出不来正推直接过了。

附录

虽然今天可惜没拿到 rk2，但昨天赛后抢到学长最优解搞到一桶泡面，就当昨天那个是今天拿的吧。