2024“钉耙编程”中国大学生算法设计超级联赛（3） 1005 数论

题意：

分析：

远看数论题，实则是道数据结构。

记 \(f_{i}\) 表示 \(r_{k}=i\) 的方案数，\(g_{i}\) 表示 \(l_{1}=i\) 的方案数，那么运用简单容斥，可得：

\[ans_{x} = (\sum_{i=1}^{n} f_{i}) - ((\sum_{i=1}^{x-1}f_{i})+1) \times ((\sum_{i=x+1}^{n}g_{i})+1)+1 \]

先考虑如何计算 \(f_{i}\)，对于一个相同的 \(i\)：

记 \(z=\gcd(a_{x},a_{x+1},\dots,a_{i})\)，可以发现随着 \(x\) 变小，\(z\) 单调不升且 \(z\) 的本质不同的值不超过 \(\log V\) 个。因此可以使用二分把所有 \(z\) 相同的左端点的区间求出来，对于 \(z\) 相同的一段左端点 \(x \in [l,r]\) 而言，它在 \(dp\) 转移时必须满足上一个区间的 \(gcd\) 与这个区间的 \(gcd\) 值相等，解决方法也不难，只需要先二分离线预处理出一些四元组：

\[(l,r,i,z) \]

其表示左端点所属的区间为 \([l,r]\)，右端点为 \(i\)，\(gcd\) 为 \(z\)。根据上面的分析，这样的四元组的个数不超过 \(n \log V\) 个。我们将 \(z\) 相同的四元组按 \(i\) 排序，记 \(sum_{i}\) 表示在该 \(gcd\) 下 \(\sum_{j=1}^{i}f_{i}\)，那么转移为：

\[(\sum_{j=l-1}^{r-1} g_{j}) \to f_{i} \]

转移它可以使用线段树（不用树状数组是因为树状数组无法快速清空），套路地维护 \(f_{i}\) 和 \(if_{i}\) 的前缀和，这样就能快速求出 \(g_{j}\) 的前缀和，这样就能转移了。总时间复杂度 \(O(n \log n \log V)\)。