[笔记]（更新中）KMP-编程知识

[笔记]（更新中）KMP

news/2025/1/19 11:07:51/文章来源:https://www.cnblogs.com/Sinktank/p/18336754

算法详解

KMP是一种字符串匹配算法，可以在线性的时间复杂度内解决字符串的“模式定位”问题，即：
在字符串 $A$ 中查找字符串 $B$ 出现的所有位置。

我们称 $A$ 为主串，$B$ 为模式串。下文都用$n$表示$A$的长度，$m$表示$B$的长度，下标从$1$开始。

初始状态，我们用两个指针 $i,j$ 分别指向 $A$ 和 $B$ 的第 $1$ 位。

KMP的主过程如下（后面会证明它的正确性）：

如果$A[i]=B[j]$，则i++，j++。
如果$A[i]\neq B[j]$：
- 如果$j>1$，则j=nxt[j-1]+1。
- 如果$j\le 1$，则i++。

我们定义$nxt[0]=0$。

其中，$nxt$数组是一个用于表示发生失配后，$j$回退到的位置。具体求法待会会说，下面我们用一个例子来理解$nxt$的功能，我将$nxt$数组画在图片的下方了。

初始状态。$i=1,j=1$。
$A[i]=B[j]$，同时右移$i,j$。$i=2,j=2$。
$A[i]=B[j]$，同时右移$i,j$。$i=3,j=3$。
$A[i]=B[j]$，同时右移$i,j$。$i=4,j=4$。
$A[i]=B[j]$，同时右移$i,j$。$i=5,j=5$。
$A[i]=B[j]$，同时右移$i,j$。$i=6,j=6$。
发现$A[i]\neq B[j]$，于是查表$nxt[j-1]+1=nxt[5]+1=3$，于是$j=3$。此时$i=6$。
可以发现此时灰色箭头指向的两部分是相等的。
进一步来说，从上一张图开始，下划线的部分都是相等的。
OK我们继续，$A[i]=B[j]$，于是$i,j$同时右移，$i=7,j=4$。
发现$A[i]\neq B[j]$，查表得$nxt[3]+1=2$，于是$j=2$。此时$i=7$。
我们又发现$A$与$B$的下划线部分重合了，所以仍然可以从重合部分之后开始比较。
然后$A[i]=B[j]$……就一直比到结束了，就不放图了w。

我们可以把根据上面的过程（KMP主过程）写出代码（下标从$1$开始）：

i=1,j=1;
while(i<=n){if(a[i]==b[j]) i++,j++;else if(j>1) j=nxt[j-1]+1;else i++;if(j==m+1) cout<<i-j+1<<"\n";//输出配对的开始位置，理解一下这里
}

可以发现$i$是始终不降的，比起暴力，KMP通过避免$i$指针的回滚操作，减少了时间开销。

到这里我们已经可以初步理解$nxt$的含义，它是用来帮我们了解发生失配时，$j$应该回退到什么位置。

再进一步分析，我们发现：$nxt[x]$，其实就是$B[1\sim x]$这一段的最长公共前后缀长度。

举个例子，YABAPQYABZABAAPYABAPQYABA。这是一个长度为$24$的字符串，那么当它作为$B$时：

$nxt[23]=9$，如你所见，红色部分是$B[1\sim 23]$的公共前后缀，它的长度为$9$。
$nxt[9]=3$，因为YAB是$B[1\sim 9]$的公共前后缀，它的长度为$3$。
$nxt[3]=0$，因为$B[1\sim 3]$没有公共前后缀。
$nxt[24]=0$，因为$B[1\sim 24]$没有公共前后缀。

注意：公共前后缀可能有重叠部分，但是一个字符串不能作为它自己的公共前后缀（严格来说，我们把这种前/后缀称作真前/后缀，所以后面都带“真”来称呼了）。

我们规定，$nxt[x]$表示的必须是$B[1\sim x]$这一段的最长公共真前后缀长度，这么定义是为了保证正确性，如果不规定最长，不能保证答案的正确性。后面的证明会提到。

现在我们的首要问题是，如何求$nxt$数组？

我们假定$i$之前的答案都已经求出，现在需要求$nxt[i]$。

我们设$j$为$nxt[i-1]+1$，如下图：

最简单的情况自然就是$B[i]=B[j]$，那么$nxt[i]=j$，这是显然的。

但是也可能遇到更棘手的情况：

$B[i]\neq B[j]$，怎么办呢？

既然YABAPQYAB这个公共真前后缀不行，那就再找一个更小的！

显然更小的前后缀就是YAB了，怎么得来的呢？就是看$nxt[j-1]$的值是多少，那么新的$j$就是$nxt[j-1]+1$。此时再看看$B[i]=B[j]$是否成立。成立的话就$nxt[i]=j$，不成立就继续找$j$，直到找到$B[i]=B[j]$，或者$j=1$为止。

可以发现我们充分利用了之前计算出的$nxt$，将原规模逐步缩小，是不是有点归纳法的意味？

再来举一个不断更新$j$直到$j=1$为止的例子：

我们可以把这一步骤也写成代码（下标从$1$开始）：

int i=2,j=1;//nxt[1]应为0，所以i从2开始
while(i<=m){if(b[i]==b[j]) nxt[i++]=j++;else if(j>1) j=nxt[j-1]+1;else nxt[i++]=0;
}

（是不是和上面的代码很像）

至此把两个代码拼接起来就能得到KMP的全过程了。

P3375 【模板】KMP

下标从$1$开始

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
using namespace std;
string a,b;
int n,m,nxt[N];
int main(){cin>>a>>b;n=a.size(),m=b.size();a=' '+a,b=' '+b;int i=2,j=1;while(i<=m){if(b[i]==b[j]) nxt[i++]=j++;else if(j>1) j=nxt[j-1]+1;else nxt[i++]=0;}i=1,j=1;while(i<=n){if(a[i]==b[j]) i++,j++;else if(j>1) j=nxt[j-1]+1;else i++;if(j==m+1) cout<<i-j+1<<"\n";}for(int i=1;i<=m;i++) cout<<nxt[i]<<" ";return 0;
}

下标从$0$开始

#include<bits/stdc++.h>
#define N 1000010
using namespace std;
string a,b;
int n,m,nxt[N];
int main(){cin>>a>>b;n=a.size(),m=b.size();int i=1,j=0;while(i<m){if(b[j]==b[i]) nxt[i++]=++j;else if(j) j=nxt[j-1];else nxt[i++]=0;}i=0,j=0;while(i<n){if(a[i]==b[j]) i++,j++;else if(j) j=nxt[j-1];else i++;if(j==m) cout<<i-j+1<<"\n";}for(int i=0;i<m;i++) cout<<nxt[i]<<" ";return 0;
}

正确性证明

我们刚接触$nxt$的定义时，可能会有疑问：为什么$nxt$一定要表示$B[1\sim x]$这一段的最长公共真前后缀长度？

我们用反证法证明一下正确性，顺带解决这个问题。

根据KMP的流程，如果遇到失配的情况，我们先找$B[1\sim (j-1)]$中的最长公共真前后缀（如图，用$f$表示）的长度$nxt[j-1]$，然后把$j$置为$nxt[j-1]+1$，如下图。

要证明KMP是正确的，就是证明$j$回退时不会跳过正确答案。
我们假设在$j>nxt[j-1]+1$时存在匹配，如下图，那么灰色箭头连接的部分都相等。
自然，黄色大括号部分（不包含$i,j$）也相等，那么黄色部分的长度$=j-1$。

回到第$1$张图（$j'$表示第$1$张图情况下的$j$），根据假设，$j>|f|+1$，即黄色部分长度$>|f|$。
这样的话，黄色部分就成了$B[1\sim j']$最长的公共真前后缀，与“$f$是$B[1\sim j']$最长公共真前后缀”矛盾。