哈夫曼树
定义
带权路径长度：结点的权值乘以结点到跟的距离。
树上所有结点带权路径长度之和最小的二叉树称为哈夫曼树。
性质
- 哈夫曼是满二叉树。
来自维基百科：
- 原序列构成哈夫曼树的所有叶子结点。
- 离根结点越近，点权越大。
- 非叶子结点的点权之和就是所有叶子结点的带权路径之和。
- 哈夫曼树的叶子结点数量为 \(n\)，则总结点数为 \(2n - 1\)。
建树
构建圆点和方点，圆点代表权值，方点用来建树。
每个方点连接 1 个方点和 1 个圆点或者两个方点，\(n - 1\) 个方点将 \(n\) 个点连接起来，权值为其子节点的权值之和。
构建出来的树要求权值之和最小。
代码实现
最开始时先将所有权值放入优先队列，然后从中取出 2 个点并重新将这两个点的权值之和放入优先队列，这就完成一次方点连接。
模板
模板：P1090 [NOIP2004 提高组] 合并果子 / [USACO06NOV] Fence Repair G
其实这也不能算模板
#include <bits/stdc++.h>using namespace std;const int N = 10010;int n;
priority_queue<int, vector<int>, greater<int>> pq;int main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(nullptr);cin >> n;for (int i = 1; i <= n; i++) {int x;cin >> x;pq.push(x);}int ans = 0;while (pq.size() > 1) {int p1= pq.top();pq.pop();int p2 = pq.top();pq.pop();pq.push(p1 + p2);ans += p1 + p2;}cout << ans << '\n';return 0;
}
哈夫曼编码
应用
减少字符串存储需要的空间。
统计一个字符串中每个字符出现的次数，将其作为每个字母的权值，然后建成哈夫曼树。
