电磁介质知识梳理

news/2024/11/12 23:55:06/文章来源:https://www.cnblogs.com/Banyee/p/18373849

1.电介质

\[\def\oiint{{\bigcirc}\kern-11.5pt{\int}\kern-6.5pt{\int}} \def\oiiint{{\bigcirc}\kern-12.3pt{\int}\kern-7pt{\int}\kern-7pt{\int}} \]

1.1 极化的微观机制

在一类电介质中，当外电场不存在时，电介质分子的正负电荷中心是重合的，这类分子叫做无极分子；另外一类电介质的正负电荷中心是不重合的，叫做有极分子。
无极分子——位移极化
有极分子——取向极化

1.2 极化强度矢量\(\boldsymbol{P}\)

(1)定义
电极化强度矢量\(\boldsymbol{P}\)等于单位体积内的电矩矢量和

\[\boldsymbol{P}=\frac{\sum \boldsymbol{p_{分子}}}{\Delta V} \]

(2)极化电荷的分布
电介质的极化伴随着两个特征：（1）电偶极矩，它由\(\boldsymbol{P}\)描述；（2）极化电荷。可以证明，对于均匀电介质，极化电荷集中在它的表面上。

取一闭合曲面\(\boldsymbol{S}\)，令\(\boldsymbol{n}\)为它的外法向矢量，电极化强度矢量为\(\boldsymbol{P}\)，\(\boldsymbol{S}\)面内的净极化电荷量为\(\sum q'\)，则

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{P\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\sum q' \]

对于均匀电介质，其体内无净束缚电荷。电介质表面点电荷层的极化电荷面密度为

\[\sigma_e'=\boldsymbol{P\cdot}\boldsymbol{n}=P_n \]

1.3 退极化场

电介质极化时出现极化电荷，极化电荷也会在周围空间中产生电场\(\boldsymbol{E'}\)，总的空间电场 \(\boldsymbol{E}\)等于外电场\(\boldsymbol{E_0}\)和极化电荷产生的电场\(\boldsymbol{E'}\)的矢量叠加：

\[\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E_0}+\boldsymbol{E'} \]

极化电荷在电介质内部的附加场\(\boldsymbol{E'}\)总是起着减弱极化的作用，因此也叫做退极化场。

1.4 极化率

电介质任意一点的电极化强度矢量\(\boldsymbol{P}\)是由总电场\(\boldsymbol{E}\)决定的。实验表明，对于大多数常见的各向同性线性电介质，\(\boldsymbol{P}\)与\(\boldsymbol{E}\)满足简单的关系

\[\boldsymbol{P}=\chi_e\varepsilon_0\boldsymbol{E} \]

比例常数\(\chi_e\)叫做极化率，它与场强\(\boldsymbol{E}\)无关，与电介质的种类有关，是介质材料的属性。
外电场\(\boldsymbol{E_0}\longrightarrow\)极化强度\(\boldsymbol{P}\longrightarrow\)极化电荷密度\(\sigma_0\longrightarrow\)退极化场\(\boldsymbol{E'}\longrightarrow\)总电场\(\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E'}+\boldsymbol{E_0}\)，而总电场\(\boldsymbol{E}\)又会反过来影响极化强度\(\boldsymbol{P}\)，可见这些量之间是彼此依赖、相互制约的关系。

1.5 电位移矢量\(\boldsymbol D\) 有电介质时的高斯定理

推导：在有极化电荷存在时，包含自由电荷\(q_0\)和极化电荷\(q'\)的高斯定理写为

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{E\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_S (q_0+q')\tag{1.5.1} \]

电极化强度矢量\(\boldsymbol{P}\)满足

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{P\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\sum_S q'\tag{1.5.2} \]

将\((1.5.1)\)乘以\(\varepsilon_0\)，再加上\((1.5.2)\)得

\[\oiint_{(S)}(\varepsilon_0 \boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})\cdot{\rm d}\boldsymbol{S}=\sum_S q_0 \]

现在引入一个辅助性的矢量\(\boldsymbol{D}\)

\[\boldsymbol{D}=\varepsilon_0 \boldsymbol{E} + \boldsymbol{P} \]

\(\boldsymbol{D}\)即电位移矢量。上述公式简记为

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{D\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\sum_{S内} q_0\tag{1.5.3} \]

\((1.5.3)\)式的优越性在于它不包含极化电荷\(q'\)。对于各向同性电介质，代入\(\boldsymbol{P}=\chi_e\varepsilon_0\boldsymbol{E}\)

\[\boldsymbol{D}=(1+\chi_e)\varepsilon_0\boldsymbol{E} \]

正式引入相对介电常数：

\[\varepsilon=1+\chi_e \]

\[\boldsymbol{D}=\varepsilon\varepsilon_0\boldsymbol{E} \]

利用新的高斯定理，可以先把\(\boldsymbol{D}\)求出，然后根据\(\boldsymbol{D}\)和总电场、总电场和附加电场之间的关系求出其余各量。

一个有趣的问题：无电介质时的静电场高斯定理为

\[\oiint\varepsilon_0\boldsymbol{E_0\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\sum q_0 \]

加入电介质后的高斯定理为

\[\oiint \boldsymbol{D\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\sum q_0 \]

比较以上两式的数学形式，是否可以认为\(\boldsymbol{D}\)就是\(\boldsymbol{E_0}\)的\(\varepsilon_0\)倍呢？否！事实上，\(\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E_0}\)成立的前提是：均匀电介质充满存在电场的全部空间，或者均匀电介质的表面为等势面。问题就出在，高斯定理并不能将矢量场的分布完全确定下来，它反映的只是矢量场的一个方面。反映矢量场的另一个侧面的是环路定理

\[\oint \boldsymbol{E}_0\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}=0 \]

但是电位移矢量的环路积分\(\oint\boldsymbol{D\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}\)往往不等于0，这也就意味着\(\boldsymbol{D}\)往往不等于\(\varepsilon_0\boldsymbol{E}_0\)。

2. 磁介质（一）——分子电流观点

2.1 磁介质的磁化

有关磁介质（例如铁芯）磁化的理论，有两种不同的观点——分子电流观点和磁荷观点。二者基于的微观模型不同，但是最后得到的计算结果是完全相同的。
分子电流观点：即安培的分子环流假说。以一段插在线圈中的软铁棒为例。未通电的情况下，铁棒内每个分子的环流的方向是杂乱无章的，在宏观上不显示磁性。线圈通电后，在外加的磁化场的作用下，各分子环流的磁矩趋向于向外加磁场的方向排列，这时我们就称铁棒被磁化了。在介质内部，任何两个相邻（径向相邻）的分子环流的电流方向是相反的，结果相互抵消。只有在横截面边缘的电流元没有被抵消，因而宏观上来看，被磁化的软铁棒就如同一个由一环环电流组成的螺线管。“螺线管”在内部产生的磁场方向与外加磁场方向一致，因此铁芯能够使磁通量增加。

2.2 磁化强度矢量\(\boldsymbol{M}\)

(1)定义
为了描述磁介质的磁化状态，引入磁化强度矢量的概念，它定义为单位体积内分子磁矩的矢量和。

\[\boldsymbol{M}=\frac{\sum \boldsymbol{m}_{分子}}{\Delta V} \]

(2)磁化电流的分布与磁化强度的关系

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{M\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I' \]

这就是与\((1.5.2)\)式对应的磁介质公式，它是反映磁介质中磁化电流\(I'\)的分布与磁化强度之间联系的普遍公式。

与电介质的极化电荷分布密度\(\sigma_e=\boldsymbol{P\cdot}\boldsymbol{n}\)对应的公式为

\[\boldsymbol{i'}=\boldsymbol{M\times}\boldsymbol{n} \]

其中：
\(\boldsymbol{i'}\):介质表面单位长度上的磁化电流，也叫面磁化电流密度；
\(\boldsymbol{n}\):磁介质表面的外法向单位矢量。

2.3 磁介质内的磁感应强度矢量\(\boldsymbol{B}\)

类似于电介质的情况，磁介质内的总磁感应强度\(\boldsymbol{B}\)由外加\(\boldsymbol{B}\)和附加的\(\boldsymbol{B'}\)合成

\[\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_0+\boldsymbol{B'} \]

不过现在的附加磁场\(\boldsymbol{B'}\)往往起加强作用，比如被磁化的软铁棒，它产生的附加磁场与原磁场方向相同。

2.4 磁场强度矢量\(\boldsymbol{H}\) 有磁介质时的安培环路定理

对标有电介质存在的高斯定理，先考虑有磁介质的安培环路定理

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\mu_0 [\sum_{(L内)}I_0+\sum_{(L内)}I'] \]

以及磁介质公式

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{M\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I' \]

消去磁化电流的项得到

\[\oint_{(L)}(\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M})\boldsymbol{\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I_0 \]

引入辅助矢量磁场强度矢量\(\boldsymbol{H}\)

\[\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0}-\boldsymbol{M} \]

即得

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{H\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I_0 \]

特别地，在真空中无磁介质，\(\boldsymbol{H}=0\)，此时得磁感应强度和磁场强度矢量之间的关系为

\[\boldsymbol{H}=\frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} \]

磁场强度矢量\(\boldsymbol{H}\)的单位是\(\rm A/m\)。另一种常用单位是奥斯特，用\(\rm Oe\)表示，换算关系是

\[1{\rm A/m}=4\pi\times10^{-3}\rm Oe \]

3. 磁介质（二）——磁荷观点

磁的理论最初是建立在磁的1库仑定律上的，也就是磁荷观点。它将磁极看成是磁荷聚集的地方，小磁针是磁偶极子。分子电流则是后来才建立的理论，二者相互等价。

3.1 磁介质的磁化磁极化强度矢量\(\boldsymbol{J}\)

仍以铁芯为例。在磁荷观点看来，磁介质的最小单元是磁偶极子，当介质未磁化时，磁偶极子的分布是杂乱无章的，整体上不显示磁性。给线圈通电后，线圈产生一个磁场\(\boldsymbol{H}_0\)，叫做磁化场，磁化场使得铁棒中的磁偶极子整齐地排列起来。在介质内部，磁偶极子首尾相接，相互抵消，只有在铁棒的两个端面上出现N、S极。
磁极化强度矢量\(\boldsymbol{J}\)定义为单位体积内分子磁偶极矩的矢量和。

\[\boldsymbol{J}=\frac{\sum\boldsymbol{p_{m分子}}}{\Delta V} \]

3.2 磁荷分布与磁极化强度矢量\(\boldsymbol{J}\)的关系

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{J\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\sum_{(S内)}q_m \\ \sigma_m=\frac{{\rm d}q_m}{{\rm d}S}=J\cos\theta=\boldsymbol{J\cdot}\boldsymbol{n}=J_n \]

3.3 退磁场与退磁因子

(1)退磁场
当介质棒被磁化以后，在其两端出现N、S两极，这两极在介质内部产生的磁场\(\boldsymbol{H'}\)与磁化场\(\boldsymbol{H}_0\)方向相反，因此叫做退磁场。退磁场越大，介质越不容易磁化。

\[\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H'}+\boldsymbol{H}_0 \]

(2)退磁因子
退磁场与磁极化强度成正比：

\[H'=N_D J / \mu_0 \]

\(N_D\)称为介质棒的退磁因子，在这里是一个无量纲的数。

只有椭圆形的磁介质才能在均匀外磁场中均匀磁化，而有限长的圆柱形磁介质在均匀外磁场中的磁化也是不均匀的。

3.4 安培环路定理高斯定理

总磁场\(\boldsymbol{H}=\boldsymbol{H}_0+\boldsymbol{H'}\)，下面分别讨论\(\boldsymbol{H}_0\)和\(\boldsymbol{H'}\)的环路定理和高斯定理。
(1)磁化场\(\boldsymbol{H}_0\)由电流产生，服从毕奥-萨伐尔定律，将以前得到的结论中的\(\boldsymbol{B}\)替换为\(\mu_0\boldsymbol{H}\)得

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{H}_0\cdot{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I_0\\ \oiint_{(S)}\boldsymbol{H}_0\cdot{\rm d}\boldsymbol{S}=0 \]

(2)附加场\(\boldsymbol{H'}\)由磁荷产生，服从库仑定律，对应的环路定理和高斯定理同静电场

\[\oint\boldsymbol{H'\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=0 \]

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{H'\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\mu_0}\sum_{(S内)}q_m \]

综合以上两部分，得到总磁场\(\boldsymbol{H}\)满足的安培环路定理和高斯定理

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{H\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I_0 \]

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{H\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\mu_0}\sum_{(S内)}q_m \]

3.5 磁感应强度矢量\(\boldsymbol{B}\)

对标电介质中的电位移矢量，在磁场中，将下式

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{J\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=-\sum_{(S内)}q_m \\ \]

与\(\boldsymbol{H}\)满足的高斯定理联立消去\(\sum q_m\)得到

\[\oiint_{(S)}(\mu_0\boldsymbol{H}+\boldsymbol{J})\cdot{\rm d}\boldsymbol{S}=0 \]

引入辅助性的矢量\(\boldsymbol{B}\)，它的定义为

\[\boldsymbol{B}\equiv\mu_0\boldsymbol{H}+\boldsymbol{J} \]

这个\(\boldsymbol{B}\)正是磁感应强度矢量。这样就从磁荷的角度引入了\(\boldsymbol{B}\)。在真空中，\(\boldsymbol{J}=0\)，有

\[\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H} \]

利用\(\boldsymbol{B}\)的定义得到

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=0 \]

这就是与有电介质时的高斯定理对应的公式。对比之下，该式的右侧为零，原因是没有“自由磁荷”，即所谓“磁单极子”，所有的N极和S极都是成对出现的，类似于束缚电荷中所有的正电荷和负电荷都是成对出现的。

综上所述，从磁荷的观点得到磁场的两个普遍的公式：
\(\boldsymbol{H}\)矢量的环路定理

\[\oint_{(L)}\boldsymbol{H\cdot}{\rm d}\boldsymbol{l}=\sum_{(L内)}I_0 \]

\(\boldsymbol{B}\)矢量的高斯定理

\[\oiint_{(S)}\boldsymbol{B\cdot}{\rm d}\boldsymbol{S}=0 \]

3.6 磁化率和磁导率

仿照极化强度\(\boldsymbol{P}\)与电场强度\(\boldsymbol{E}\)的关系式

\[\boldsymbol{P}=\chi_e\varepsilon_0\boldsymbol{E} \]

引入磁极化强度\(\boldsymbol{J}\)与磁场强度\(\boldsymbol{H}\)的关系

\[\boldsymbol{J}=\chi_m\mu_0\boldsymbol{H} \]

其中\(\chi_m\)叫做磁化率。它对应电介质中的介电常数\(\varepsilon\)。

\[\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}+\boldsymbol{J}=(1+\chi_m)\mu_0\boldsymbol{H}=\mu\mu_0\boldsymbol{H} \]

其中

\[\mu\equiv1+\chi_m \]

称为相对磁导率，它与电介质中的相对介电常量\(\varepsilon\)对应。

4. 磁介质两种观点与电介质的对比

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5. 磁介质的磁化规律和机理铁电体

5.1 磁介质的分类

磁介质大体可以分为顺磁质、抗磁质、铁磁质三类。对于顺磁质，\(\chi_m > 0\)，\(\mu>1\)；对于抗磁质，\(\chi_m < 0\)，\(\mu<1\)。
以上两类的磁介质的磁性都很弱，\(|\chi_m|\ll1\)，而且都是与\(\boldsymbol{H}\)无关的常数。铁磁质的情况很复杂，一般来说\(M\)和\(H\)不成比例，它还与磁化的历史有关。铁磁质的\(\chi_m\)和\(\mu\)的值一般都很大，量级为\(10^2\)~\(10^3\)，甚至\(10^6\)以上。

5.2 顺磁质和抗磁质

(1)顺磁质：分子有固有磁矩，取向磁化。
(2)抗磁质：分子无固有磁矩，洛伦兹力产生感生磁矩。

5.3 铁磁质的磁化规律

铁磁质是以铁为代表的一类磁性很强的物质。常用的铁磁质多数是铁和其他金属或非金属组成的合金，以及某些包含铁的氧化物（铁氧体）。
铁磁质的磁化规律通常是在没有退磁场的闭合铁芯螺线环中测的。起始磁化曲线如下

\(OA\):缓慢增加
\(AB\):急剧增加
\(BC\):缓慢增加
\(CS\):饱和
饱和时的磁化强度称为饱和磁化强度，用\(M_S\)表示。
由\(\boldsymbol{M}\)、\(\boldsymbol{B}\)和\(\boldsymbol{H}\)之间的关系

\[\boldsymbol{B}=(1+\chi_m)\mu_0\boldsymbol{H} \]

\[\boldsymbol{M}=\chi_m\boldsymbol{H} \]

可见，\(M-H\)曲线和\(B-H\)曲线上某一点与原点连线的斜率分别代表该点上的磁化率\(\chi_m\)和磁导率\(\mu\mu_0=(1+\chi_m)\mu_0\)。可以得到结论：当\(H\)的数值从0开始增加时，\(\chi_m\)和\(\mu\)由一初始值开始增加(\(\mu_{起始}\))，然后达到一个最大值(\(\mu_{最大}\))，之后由于磁化接近饱和，再增大\(H\)反而会使磁化率减小。
关键：起始磁导率，最大磁导率，饱和磁化强度
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(2)磁滞回线
退磁曲线由饱和退到剩余磁化状态——剩余磁化强度\(\boldsymbol{M}_R\)；
反向磁场使磁化强度降为0——矫顽力\(\boldsymbol{H}_C\)；