提供一种和第一篇题解不同的理解思路。
题目分析
看到操作 \(1\)：拿 dfs 序水水就行了。
看到操作 \(2\)：？？？
特殊情况
我们考虑一下特殊情况下操作 \(2\) 怎么处理。
假如这棵树是一条链。
设从根到叶节点权值如下：（随便赋的）
| 节点编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 权值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
如果我们对 \(2\) 号节点执行操作 \(2\)，权值就变成这样：
| 节点编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 权值 | 1 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 |
再对 \(1\) 号节点执行操作 \(2\)，权值就变成这样：
| 节点编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 权值 | 3 | 4 | 5 | 6 | 0 | 0 |
发现在链的情况下，直接将 \([p,p+\textrm{size}(p)-1]\) 的区间向左平移一位，首位舍弃，末位补零即可。
这样打一棵 FHQ Treap 维护区间最大值就行了。
一般情况
序列处理
那要是它不是一条链呢？
感觉刚刚的做法比较好用，尝试往树上套。
例如这棵树：
设从根到叶节点权值如下：
| 节点编号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| 权值 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
发现此时单纯的平移无法满足条件。
考虑给有多个儿子的节点开几个虚拟节点。
保证对于任意非根非虚拟节点，在序列上它的前一位是它的父亲。
同时保证一个子树中的节点在序列上是连续的。（和树链剖分一样）
所以就变成这样：（v 表示虚拟节点，r 表示普通节点）
| 1r | 2r | 4r | 2v | 5r | 1v | 3r |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 4 | 0 | 5 | 0 | 3 |
发现这就是在回溯时不记录该节点的欧拉序。
如果我们对 \(1\) 号节点执行操作 \(2\)，权值就变成这样：
| 1r | 2r | 4r | 2v | 5r | 1v | 3r |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 | 4 | 0 | 5 | 0 | 3 | 0 |
发现满足了题意，只要每次将虚拟节点上的权值转移回根节点即可。
权值转移
考虑朴素转移，记录每个节点的所有虚拟节点，每次枚举子树内的非叶节点，暴力加。
发现一次操作时间复杂度为 \(O(n)\)。（链的情况）
评价是不如暴力。
我们很容易发现，对于任意子树，虚拟节点的个数就是叶节点个数减 \(1\)。
考虑从叶节点更新虚拟节点。
我们为每个节点分配一个它负责更新的节点。
| 1r | 2r | 4r | 2v | 5r | 1v | 3r |
|---|---|---|---|---|---|---|
| - | - | - | - | 2v | - | 1v |
每次修改的时候枚举叶节点，将其对应的虚拟节点的权值更新到普通节点上即可。
为了保证时间复杂度，每次更新后应动态维护叶节点，删去原本的。
现在要解决两个问题：
- 如何为每个节点分配它负责更新的节点？
- 如何动态维护叶节点集合？
对于第一个问题，首先我们知道，对于一条链上的节点，它们负责更新的节点应该是同一个。
比如下图：
| 1r | 2r | 1v-1 | 3r | 1v-2 | 4r | 5r |
|---|---|---|---|---|---|---|
| - | - | - | 1v-1 | - | 1v-2 | 1v-2 |
4r 节点和 5r 节点应维护同一信息，否则在操作后删去 5r 后会导致没有节点更新 1v-2 节点。
这一部分可以利用链剖分的方式进行。
出于一些神奇的原因，我的代码只有重链剖分能过，望各位大佬告诉我原因。
再考虑如何维护叶节点集合。
注意：这里的叶节点包括所有用于更新节点的点，有的点可能不是叶子。
考虑开一棵平衡树来维护，其中存储叶节点在序列上的编号。
每次枚举 \([\textrm{begin}(p),\textrm{end}(p)]\) 间的叶节点。
- 该节点是真正的叶节点，那么更新完后删除自己，尝试将父节点加入。
- 该节点不是真正的叶节点，那么更新完就不用管了。
父节点加入集合有两种情况：
- 该节点和父节点在同一条链上，为了保证正常更新，所以将父节点加入。
- 删去该节点后父节点成了叶子。
结束。
Code
这份代码为了卡常整体十分丑陋。
我把指针 FHQ 换成了数组版的，并且把结构体给丢了，换成命名空间。
还有极为混乱的宏定义。
我在卡的时候只要能过编译就行。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 1000006
mt19937 rnd(time(0));namespace s_tr
{struct node{uint64_t v=0;uint32_t id=0;int siz=1;uint32_t lc=0, rc=0;uint64_t mx=0;node(uint64_t va, uint32_t d): v(va), id(d) {mx=v;}node() {}}tr[maxn<<1];#define siz(x) (x?tr[x].siz:0)int push_up(uint32_t x){tr[x].siz=1+siz(tr[x].lc)+siz(tr[x].rc);tr[x].mx=max({tr[x].v, tr[tr[x].lc].mx, tr[tr[x].rc].mx});return x;}int rt=0, cnt=0;int new_node(uint64_t v) {tr[++cnt]=node(v, rnd());return cnt;}void split(uint32_t x, int s, uint32_t &l, uint32_t &r){if(!x) return l=r=0, void();if(siz(tr[x].lc)<s) l=x, split(tr[x].rc, s-siz(tr[x].lc)-1, tr[x].rc, r);else r=x, split(tr[x].lc, s, l, tr[x].lc);push_up(x);}uint32_t merge(uint32_t x, uint32_t y){if(!x||!y) return x?x:y;if(tr[x].id<tr[y].id){tr[x].rc=merge(tr[x].rc, y);return push_up(x);}else{tr[y].lc=merge(x, tr[y].lc);return push_up(y);}}void push_back(int v) {rt=merge(rt, new_node(v));}uint64_t max_element(int l, int r){uint32_t a, b, c;split(rt, l-1, a, b);split(b, r-l+1, b, c);uint64_t ret=tr[b].mx;rt=merge(a, merge(b, c));return ret;}void modify(int p, uint64_t v){uint32_t a, b, c;split(rt, p-1, a, b);split(b, 1, b, c);tr[b].mx=tr[b].v=v;rt=merge(a, merge(b, c));}void accumulate(int p, uint64_t v){uint32_t a, b, c;split(rt, p-1, a, b);split(b, 1, b, c);tr[b].mx=tr[b].v=v+tr[b].v;rt=merge(a, merge(b, c));}int64_t get(int k){uint32_t p=rt;while(p){uint32_t sz=siz(tr[p].lc);if(k<=sz) p=tr[p].lc;else if(k<=sz+1) return tr[p].v;else {k-=sz+1, p=tr[p].rc;}}return 0;}
}int val[maxn];
vector<int> e[maxn];
int fa[maxn], vis[maxn<<1];vector<int> ins;namespace tr
{struct node{uint64_t v=0;uint32_t id=0;int siz=1;uint32_t lc=0, rc=0;node(uint64_t va, uint32_t d): v(va), id(d) {}node() {}}tr[maxn<<1];#define siz(x) (x?tr[x].siz:0)int push_up(uint32_t x){tr[x].siz=1+siz(tr[x].lc)+siz(tr[x].rc);return x;}int rt=0, cnt=0;int new_node(uint64_t v) {tr[++cnt]=node(v, rnd());return cnt;}void split(uint32_t x, int v, uint32_t &l, uint32_t &r){if(!x) return l=r=0, void();if(tr[x].v<=v) l=x, split(tr[x].rc, v, tr[x].rc, r);else r=x, split(tr[x].lc, v, l, tr[x].lc);push_up(x);}uint32_t merge(uint32_t x, uint32_t y){if(!x||!y) return x?x:y;if(tr[x].id<tr[y].id){tr[x].rc=merge(tr[x].rc, y);return push_up(x);}else{tr[y].lc=merge(x, tr[y].lc);return push_up(y);}}void insert(int v){uint32_t x, y;split(rt, v, x, y);rt=merge(merge(x, new_node(v)), y);}void erase(int v){uint32_t l, r, x, y;split(rt, v, l, r);split(l, v-1, x, y);l=merge(tr[y].lc, tr[y].rc);rt=merge(merge(x, l), r);}
}int son[maxn], siz[maxn], deg[maxn];
int st[maxn], ed[maxn], top[maxn], dic[maxn<<1];vector<uint32_t> con;
void work(uint32_t xp)
{if(!xp) return;work(tr::tr[xp].lc);con.emplace_back(tr::tr[xp].v);work(tr::tr[xp].rc);
}void dfs1(int u)
{siz[u]=1;for(auto v:e[u]){dfs1(v);siz[u]+=siz[v];if(siz[v]>siz[son[u]])son[u]=v;}
}void dfs2(int u, int tx)
{dic[st[u]=++*dic]=u;top[u]=tx;deg[u]=e[u].size();s_tr::push_back(val[u]);if(son[u]) dfs2(son[u], tx);for(auto v:e[u])if(v!=son[u]){s_tr::push_back(0);dic[++*dic]=u;dfs2(v, *dic);}ed[u]=*dic;if(!son[u]) tr::insert(st[u]), vis[st[u]]=1;
}#undef siz
#define siz 100000000
char buf[siz],*p1=buf,*p2=buf,obuf[siz],*p3=obuf;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,siz,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
#define putchar(x) (p3-obuf<siz)?(*p3++=x):(fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout),p3=obuf,*p3++=x)
#define flush() fwrite(obuf,p3-obuf,1,stdout),p3=obuf
template<typename T>inline void read(T &x){char c=getchar();x=0;for(;!isdigit(c);c=getchar());for(;isdigit(c);c=getchar()) x=((x<<3)+(x<<1)+(c^48));}int main()
{int n, q;read(n), read(q);for(int i=1;i<=n;i++) read(val[i]);for(int i=2;i<=n;i++) read(fa[i]), e[fa[i]].emplace_back(i);dfs1(1);dfs2(1, 1);while(q--){int op, u;read(op), read(u);if(op==1) printf("%lld\n", s_tr::max_element(st[u], ed[u]));else{uint32_t a, b, c, d;s_tr::split(s_tr::rt, st[u]-1, a, b);s_tr::split(b, ed[u]-st[u]+1, b, d);if(!s_tr::tr[b].mx) {s_tr::rt=s_tr::merge(a, s_tr::merge(b, d));continue;}s_tr::split(b, 1, b, c);s_tr::tr[b].v=s_tr::tr[b].mx=0;s_tr::rt=s_tr::merge(a, s_tr::merge(c, s_tr::merge(b, d)));tr::split(tr::rt, st[u]-1, a, b);tr::split(b, ed[u], b, c);con.clear();work(b);for(auto xt:con){int p=dic[xt];int t=top[p];if(t!=st[dic[t]]){uint64_t x=s_tr::get(t);if(x){s_tr::modify(t, 0);s_tr::accumulate(st[dic[t]], x);}}if(!deg[p]){if((!--deg[fa[p]]||top[fa[p]]==t)&&!vis[st[fa[p]]]) ins.emplace_back(st[fa[p]]), vis[st[fa[p]]]=1;}else ins.emplace_back(xt);}tr::rt=tr::merge(a, c);for(auto v:ins) tr::insert(v);ins.clear();}}flush();
}
