树形图的定义：没有环，每个点（除了根节点）的入度都是\(1\)，根节点的入度为\(0\)
朱刘算法的过程见OI-wiki；当没有环的时候，就满足了树形图的定义，于是可以结束；否则的话就将所有环缩点（注意此时由于每个点的入度都是\(1\)，所以不可能存在两个环有公共点和公共边）得到新图\(G_1\)，对于\(G_1\)中的边，有三类：如果是缩点点内部的边（也就是环上的边）那么就删去，如果是终点在缩点点内部的边（也就是终点是环上的点），那么边权为原边权减去终点所选择的那条入边的权值，如果是其余边就不变
比如
变成
最终答案就是所有选的边的边权和
证明：如果最开始的选择之后无环，那么肯定是最小树形图（达到了下界）；否则的话，先看看两个引理
引理一：对图中任意一个环，至少去掉一条边
这个显然
引理二：存在一个最小树形图，使得每个环只去掉一条边
证：如果对任意一个最小树形图，都存在一个环至少去掉两条边，我们找出这个环，假设这个环是\(x_0-x_1-···-x_k-x_0\)，不妨设\(x_k-x_0\)和\(x_i-x_{i+1}\)这两条边被去掉了；对当前的最小树形图，肯定可以从跟走到\(x_0\)再从\(x_0\)走到\(x_i\)，现在考虑\(x_{i+1}\)的入边，我们将这条入边删掉，换成\((x_i,x_{i+1})\)，显然还是一个最小树形图，而且边权和变小，矛盾；于是得证
根据引理二，我们找出原图中所有满足每个环只去掉一条边的树形图，设他们组成的集合是\(S\)，那么\(S\)中边权和最小的就是答案；我们再考虑将原图的环缩点之后得到的新图\(G_1\)的所有最小树形图组成的集合是\(S_1\)，不难知道\(S\)和\(S_1\)一一对应（包括权值都是相同的），于是转化成求\(G_1\)的最小树形图；所以递归求解就好了
