算法效率分析
算法定义
程序 = 数据结构 + 算法
算法：是对特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作
程序是计算机指令的有序集合，是算法用某种程序设计语言的表述，是算法在计算机上的具体实现
算法的特性
(1) 有穷性：一个算法必须在执行有穷步之后结束，且每一步都可在有穷时间内完成（算法必须是有穷的，程序可以是无穷的）
(2) 确定性：算法中的每条指令必须有确切的含义，对于相同的输入只能得到相同的输出，不会出现二义性
(3) 有零个或多个输入：在执行算法时需要从外界取得必要的信息
(4) 有一个或多个输出：算法的目的是为了求解，“ 解 ”就是输出
(5) 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成
算法设计的要求
(1) 正确性：指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确得到问题的正确答案
(2) 可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读，理解和交流
(3) 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果
(4) 高效性：时间效率高和存储量低（时间复杂度低和空间复杂度低）
算法时间效率的度量
根据该算法编制的程序在计算机上执行时所消耗的时间来度量，度量一个程序的执行时间通常有两种方法：
-
事后统计估计：让算法先运行，事后统计其执行时间
-
事前分析估计：认为算法的执行时间是问题规模 n 的函数，用 T(n) 表示
一个程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模
$$算法运行时间 = \sum每条语句的执行次数*该语句一次所执行的时间$$
- 一般情况下，算法中基本语句重复执行的次数是问题规模 n 的某个函数 f(n)，算法的时间量度记作
T(n) = O(f(n)) - 它表示随问题规模 n 的增大，算法执行时间的增长率和 f(n) 的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称时间复杂度
基本方法：
找出语句频度最大的那条语句作为基本语句
计算基本语句的频度得到问题规模 n 的某个函数 f(n)
取其数量级用符号 “ O ” 表示
注意：算法中基本操作重复执行的次数还随问题的输入数据集不同而不同
时间复杂度的计算方法
对于复杂的算法，可以将它分为几个容易估算的部分，然后利用加法法则和乘法法则，计算算法的时间复杂度
最坏时间复杂度是指在最坏情况下，算法的时间复杂度
平均时间复杂度是指所有可能输入实例在等概率出现的情况下，算法的期望运行时间
最好时间复杂度是指在最好情况下，算法的时间复杂度
一般总是考虑最坏情况时间复杂度，以保证算法的运行时间不会比它更长
加法法则
T(n) = T1(n) + T2(n) = O(f(n)) + O(g(n)) = O(max(f(n),g(n)))
乘法法则
T(n) = T1(n)*T2(n) = O(f(n))*O(g(n)) = O(f(n)*g(n))
注意：常见的时间复杂度（自上向下越来越大）
| 时间复杂度 | 术语 |
|---|---|
| O(1) | 常数阶 |
| O(log2n) | 对数阶 |
| O(n) | 线性阶 |
| O(nlog2n) | nlogn阶 |
| O(n^2) | 平方阶 |
| O(n^3) | 立方阶 |
| O(2^n) | 指数阶 |
| O(n!) | 阶乘阶 |
| O(n^n)` | 幂指阶 |
算法空间效率的度量
我们用 “ 时间复杂度 ” 指运行时间的需求， “ 空间复杂度 ” 指空间的需求
作为算法所需存储空间的度量，简称空间复杂度，它也是问题规模 n 的函数，记作：S(n) = O(f(n))
算法占据的空间：
- 算法本身要占据的空间，输入 / 输出，指令，常数，变量等
- 算法要使用的辅助单元的个数（算法的空间复杂度一般指辅助单元的空间大小）
若算法中新建了几个与输入数据规模 n 相同的辅助数组，则空间复杂度为O(n)
算法原地工作是指算法所需的辅助空间为常量，即为O(1)
