[AGC002F] Leftmost Ball

题意

给定 \(n\) 种颜色的球，每一种有 \(k\) 个，随意排列 \(n \times k\) 个球，然后将每种球的左边第一个球变为第 \(n + 1\) 种颜色，问操作过后有多少不同的颜色序列。

\(n, k \le 2000\)。

Sol

先将修改的球当成一种新的颜色。

注意到一个性质，假设最终颜色序列一个前缀的第 \(i\) 个白球，显然在 \(i\) 左边只可能出现至多 \(j < i\) 种颜色的球。

因此考虑设 \(f_{i, j}\) 表示现在放了 \(i\) 个白球，剩余颜色有 \(j\) 个被放了，每次转移要么放一个白球，要么放一整种颜色的球。

如果直接乱放是不好去重的。

经典套路，考虑映射一个不重不漏的特殊性质。

钦定每次操作必须放到右边第一个空位，重复的问题显然解决。

• \(f_{i, j} \to f_{i + 1, j}\)
• \(f_{i, j} \times \dbinom{nk - i - (k - 1)j - 1}{k - 2} (n - j) \to f_{i, j + 1}\)

复杂度：\(O(nk)\)。