[NOIP 2024 模拟2]表
题意
给定质数 \(P\)。数 \(x\) 可以花费 \(|x-y|\) 的代价变为 \(xy \bmod P\)，对于每对 \((a,b)\)，求 \(a\) 变成 \(b\) 的最小代价。
思路
70 pts
暴力建图跑 Floyd，时间复杂度 \(O(P^3)\)。
100 pts
通过 70 pts 代码打表发现，答案不超过 \(17\)，将 \(x\) 向 \([x-17,x+17]\) 连边，跑 Dijkstra 即可。
时间复杂度 \(O(P^2\log P)\)。
代码
#include <bits/stdc++.h>
#define pii pair<int,int>
#define fi first
#define se second
using namespace std;
const int N = 2005;
const int mod = 998244353;
int f[N][N], P, t;
vector <pii> E[N];
struct node {int id, dis;};
bool operator < (node a, node b) {return a.dis > b.dis;
}
priority_queue <node> q;
bool vis[N];
void spfa(int s) {memset(vis, 0, sizeof(vis));f[s][s] = 0;q.push({s, 0});while (!q.empty()) {int x = q.top().id; q.pop();if (vis[x]) continue;vis[x] = 1;for (auto y : E[x]) {if (f[s][y.fi] > f[s][x] + y.se) {f[s][y.fi] = f[s][x] + y.se;q.push({y.fi, f[s][y.fi]});}}}
}
signed main() {freopen("newb.in", "r", stdin); freopen("newb.out", "w", stdout);scanf("%d%d", &P, &t);memset(f, 0x3f, sizeof(f));for (int i = 1; i < P; i ++) for (int j = max(1, i - 20); j <= min(P - 1, i + 20); j ++)E[i].push_back({i * j % P, abs(i - j)});for (int i = 1; i < P; i ++) spfa(i);int ans = 0;for (int i = 1; i < P; i ++) for (int j = 1; j < P; j ++) {int res = 1, a = t, b = (i - 1) * (P - 1) + j - 1;for (; b; b >>= 1, a = 1ll * a * a % mod) if (b & 1) res = 1ll * res * a % mod;ans = (ans + 1ll * f[i][j] * res % mod) % mod;}printf("%d\n", ans);return 0;
}
