CSP2024-22

A

题意：给出一棵树，断两条边分成三份 \(a, b, c\)，最小化 \(\max (a, b, c) - \min(a, b, c)\)。

一个自然的想法是枚举 \(x\)，断掉 \((x, fa)\)，在剩余部分尽可能均分。

对于不是 \(x\) 祖先的点，找大小最靠近 \(\frac{n - sz_x}{2}\)；对于 \(x\) 的祖先，找最靠近 \(sz_x + \frac{n - sz_x}{2}\) 的。submission

另解：随机一个根，启发式合并找子树内 size 内最接近 \(\frac{sz_x}{2}\) 的，对应断 \((x, fa)\) 再在子树内断一刀。效率不会分析。

B

题意：\(1 \sim n\) 顺次排列，每次等概率选出两个相邻的人 \(i, j\)，\(i\) 赢的概率为 \(\frac{a_i}{a_i + a_j}\)，\(j\) 赢的概率为 \(\frac{a_j}{a_i + a_j}\)，赢的人继续留在场上。

求第 \(k\) 个人最后获胜的概率。\(n \le 500\)。

设 \(f(i, j, k)\) 表示只考虑区间 \([i, j]\)，\(k\) 获胜的概率。由于不需要考虑每一回合的发生顺序，\(f(i, j, k ) = f(i, k, k)\times f(k, j, k)\)。

不能由上述表达式求出的情况只有 \(f(i, j, i)\) 和 \(f(i, j, j)\)，记作 \(l(i, j)\) 和 \(r(i, j)\)。

以 \(l(i, j)\) 为例，肯定是把 \([i + 1, j]\) 拆成若干区间，每个区间的胜者与 \(i\) 比赛，设最后一个区间 \([k, j]\)，枚举胜者 \(p\)：

\[l(i, k - 1)\sum_{p = k}^j r(k, p) \times l(p, j) \times \dfrac{a_i}{a_i + a_p} \]

最后一个区间长为 \(a\) 且 \(p\) 获胜的概率是多少？不妨先考虑每一回合的顺序，一个人被删除则加到末尾，最后能得到一个排列。

总共 \((j - i)!\) 种排列，先把 \(p\) 放到末尾，剩下 \(j - i - 1\) 个人随便排，概率等于 \(\dfrac{1}{j - i}\)，与 \(a\) 无关。

\[\begin{aligned}l(i, j) &= \dfrac{1}{j - i}\sum_{k = i + 1}^j l(i, k - 1)\sum_{p = k}^j r(k, p) \times l(p, j) \times \dfrac{a_i}{a_i + a_p}\\ \\ &= \dfrac{1}{j - i}\sum_{p = i + 1}^j l(p, j) \times \dfrac{a_i}{a_i + a_p}\sum_{k = i + 1}^p l(i, k - 1)r(k, p)\\\end{aligned} \]

后面一个和式只与 \(i, p\) 有关，dp 同时算一下贡献，做到 \(O(n)\) 转移。时间复杂度 \(O(n^3)\)。submission

C

题意：\(n\) 行 \(m\) 列的网格，左下角为 \((0, 0)\)，右上角为 \((m, n)\)，保证 \(2\nmid m \land n\perp m\)。

若干格子（非格点）中有方块，给出 \(k\) 个方块的右上角左边。初始位置在 \((\frac{m}{2}, 0)\)，初始方向向量 \((-1, 1)\)（左上）。

撞到边界或方块发生反射，一个方块被撞到会立刻消失。求所有方块消失的时刻，数据保证有解。\(n, m, k \le 10^5\)。

能从 \((x_0, y_0)\) 直接撞到一个方块当且仅当 \(x + y\) 或 \(x - y\) 相同，这取决于当前方向，分讨一下。

复杂度瓶颈在于从一个方块到下一个方块有可能经过 \(O(n)\) 个边界点。

如果 \(x, y\) 都是边界点，\(x\) 从这个方向射到 \(y\)， 下一次延这个方向还是到 \(y\)。并查集压缩路径，复杂度 \(O(n\log n + n\alpha(n))\)。

代码不会写，码力太弱。

D

题答题：