关于异或哈希

Re：疑惑异或哈希

异或哈希是个很神奇的算法，利用了异或操作的特殊性和哈希降低冲突的原理，可以用于快速找到一个组合是否出现、序列中的数是否出现了 \(k\) 次

算法如其名，异或+哈希。

想起某首歌叫PPAP？

I have a \(\oplus\),I have an \(hash\).
(Uhh~) \(\oplus hash\) !

😅

异或

最基本的，也很重要的

\[a\oplus 0 =a \]

\[a\oplus a =0 \]

考虑到异或运算满足交换律，即\(a \oplus b=b\oplus a\)

因此组合的不同排列的异或值相等

\[\begin{align*} a \oplus b \oplus c&= a \oplus c \oplus b\\ &= b \oplus a \oplus c\\ &= b \oplus c \oplus a\\ &= c \oplus a \oplus b\\ &= c \oplus b \oplus a\\ \end{align*} \]

这样我们便可以忽略顺序，直接统计组合出现次数。

哈希

由于二进制位数有限，会存在一些情况使得异或并不正确，如：\(1\oplus 2=5\oplus 6\)，\(1\oplus 2\oplus 3 = 4\oplus 8\oplus 12\)

因此需要将原始数据哈希为较大的数降低冲突概率

应用

组合问题

直接来看道例题。

here

不会有人看不懂英文还不会拿软件翻译吧 虽然翻译软件翻译的跟构式一样

直接沿用异或哈希的思路，不难写出 \(O(n^2)\) 的代码

int n,m;mt19937_64 rnd(time(0));unsigned long long code[N],chk[N],Xor[N],a[N];signed main(){n=rd;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=rd;}for(int i=1;i<=n;i++){code[i]=rnd();chk[i]=chk[i-1]^code[i];}for(int i=1;i<=n;i++){Xor[i]=Xor[i-1]^code[a[i]];}int cnt=0;for(int i=1;i<=n;i++){for(int j=i;j<=n;j++){if((Xor[i-1]^Xor[j])==chk[j-i+1]){++cnt;}}}printf("%lld",cnt);return Elaina;
}

兴高采烈地交上去...乂~T了。

一看数据范围：\(3*10^5\)

好家伙 \(O(n^2)\) 肯定 水 过不去了。

进一步考虑到：

• 满足条件的区间肯定有 \(1\) 和 等于区间长度的最大值 \(max\)

分别向右/左做两次扩展：

设 \(pos\) 记录上一个 \(1\) 的位置，当前扩展到 \(x\)

当 \(x=1\) 时，就更新指针 \(pos\)，并重置 \(mx\)

否则往回捯饬 \(mx=max(mx,x)\) 个数，异或哈希判断是否合法即可。

int n,m;int max(int a,int b){return a>b?a:b;
}mt19937_64 rnd(time(0));unsigned long long code[N],chk[N],Xor[N],a[N];signed main(){n=rd;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=rd;}for(int i=1;i<=n;i++){code[i]=rnd();chk[i]=chk[i-1]^code[i];}for(int i=1;i<=n;i++){Xor[i]=Xor[i-1]^code[a[i]];}int cnt=0,pos=-1,cnt1=0,mx=0;for(int i=1;i<=n;i++){if(a[i]==1){pos=i,++cnt1,mx=1;}else if(pos!=-1){mx=max(mx,a[i]);if(i-mx+1<=pos)if((Xor[i]^Xor[i-mx])==chk[mx])++cnt;}}pos=-1;for(int i=n;i>=1;i--){if(a[i]==1){pos=i,++cnt1,mx=1;}else if(pos!=-1){mx=max(mx,a[i]);if(i+mx>=pos)if((Xor[i+mx-1]^Xor[i-1])==chk[mx])++cnt;}}printf("%lld",cnt+cnt1/2);return Elaina;
}

实际上反过来的时候可以直接reverse一下数组，然后再跑一遍，就不用复制粘贴打两遍了。。。

然后就 AC 了喵~

出现次数问题

二进制的异或的本质是对每一位进行不进位的加法，也就是每一位相加对2取模，即：

\[0 \oplus 0 = (0+0)\ \%\ 2 = 0 \]

\[0 \oplus 1 = (0+1)\ \%\ 2 = 1 \]

\[1 \oplus 0 = (1+0)\ \%\ 2 = 1 \]

\[1 \oplus 1 = (1+1)\ \%\ 2 = 0 \]

假设有一种运算 \(③\)，使得 \(a\ ③\ a\ ③\ a=0\)，即

\[0\ ③\ 0 = (0+0)\ \%\ 3 = 0 \]

\[1\ ③\ 0 = (0+1)\ \%\ 3 = 1 \]

\[2\ ③\ 0 = (2+0)\ \%\ 3 = 2 \]

\[2\ ③\ 2 = (2+2)\ \%\ 3 = 1 \]

其实也就是 \(3\) 进制的运算

扩展到 \(k\) 进制即可解决是否出现 \(k\) 次的问题

ull xork(ull a,ull b,int k){vector<int> vec;while(a||b){vec.push_back((a+b)%k);a/=k;b/=k;}ull res=0;ull p=1;for(auto x:vec){res+=p*x;p*=k;}return res;
}ull xork(ull x,ull y,int k){int sum=0,p=1;
//	if(y%2==0) swap(x,y);while(x||y){sum+=(x%k+y%k)%k*p;p*=k;x/=k;y/=k;}return sum;
}

我们还是来看道例题

here

洛谷

其实上一道题也可以在洛谷找到对应的翻译版本 （逃

首先我们知道一个思想，证明充要条件就要证明它既充分又必要；同样，要证明一个数等于某个值，必须让它既小于等于又大于等于这个值。
迁移到本题，我们让所有数的出现个数 \(cnt = 3\) ，便是要去满足 \(cnt \geq 3 \land cnt \leq 3\) 这俩约束

第一个约束随便糊一个异或哈希即可。

关键在于第二个约束。

我们考虑使用类似于双指针的算法：

考虑对于一个满足约束二的 \([l, r]\) 区间，右指针每次往右移动一次，都可能会破坏原本“满足约束二”的性质。那么为了让其重新满足，我们需要让左指针一直向右移动，即：从左到右删去数字使得区间再次满足约束二。

让新加入的右指针的值 \(a_r\) 出现的次数小于等于三即可；因为这样删除必然不会导致“因为其他数字出现次数减少而导致不能满足约束二”这种情况，理由显然。

令 \(pre_r\) 为 \([1, r]\) 的前缀异或和。

当删除完毕之后，我们统计满足 \(pre_r = pre_{pos}\) 且 \(pos \in [l, r]\) 的 \(pos\) 数量，这一点可以使用 map 或者哈希表完成。

那么这道题就完成了，复杂度 \(\mathcal{O}(N \log_2 N)\) 或者纯线性。

然后关于...算了，自己看吧。

discuss

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define rd read()
#define mkp make_pair
#define psb push_back
#define Elaina 0
inline ll read(){ll f=1,x=0;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar()) f=(ch=='-'?-1:1);for(;isdigit(ch);ch=getchar()) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';return f*x;
}
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+100;
const int inf=0x7fffffff;int n,k;mt19937_64 rnd(time(0));ull code[N],pre[N],a[N],num[N];
map<ull,ull> mp; ull xork(ull x,ull y,int k){ull sum=0,p=1;while(x||y){sum+=(x%k+y%k)%k*p;p*=k;x/=k;y/=k;}return sum;
}signed main(){srand(time(0));n=rd,k=3;for(int i=1;i<=n;i++){a[i]=rd;}for(int i=1;i<=N;i++){code[i]=rnd()%(1ll<<63);}for(int i=1;i<=n;i++){pre[i]=xork(pre[i-1],code[a[i]],k);}int cnt=0;mp[0]=1;for(int l=0,r=1;r<=n;++r){++num[a[r]];while(num[a[r]]>3){--num[a[l]];if(l>0) --mp[pre[l-1]];++l;}cnt+=mp[pre[r]];++mp[pre[r]];}printf("%lld",cnt);return Elaina;
}

\(x^2\) 问题

判断一个序列的乘积是否是 \(x^2\) ( $ x$ 为某个整数)

这个就比较好说了，根据唯一分解定理

\[x=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}\dots p_k^{\alpha_k} \]

其中，\(\alpha_1 \leq \alpha_2 \leq \alpha_3 \leq \dots \leq \alpha_k\)皆素数。

则

\[\begin{align*}x^2&=(p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}p_3^{\alpha_3}\dots p_k^{\alpha_k})^2\\ &=p_1^{2\times\alpha_1}p_2^{2\times\alpha_2}p_3^{2\times\alpha_3}\dots p_k^{2\times\alpha_k}\end{align*} \]

那么当这个序列质因子出现的次数都是偶数次即可。

练习

题目	类型
Prefix Equality AtCoder - abc250_e	组合问题
The Number of Subpermutations CodeForces - 1175F	组合问题
The Untended Antiquity CodeForces - 869E	组合问题
由乃与大母神原型和偶像崇拜 洛谷 - P3792	组合问题
Number Game on a Tree HackerRank	出现次数问题
Quadratic Set CodeForces - 1622F	\(x^2\)问题

尾图

蒂蒂~❤ 嘿嘿嘿 我的蒂蒂❤

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