学习笔记 - log

目录

• 1.定义
• 2.性质
• 3.计算公式

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1.定义

如果\(x^n=a\),
那么\(n\)叫作以\(x\)为底\(a\)的对数。
记作\(n=\log_xa(x>0\text{且}x\neq1)\)。

2.性质

\(\log_aa^x=x\) (定义)
\(\log_a1=0 (a^0=1)\)
\(\log_aa=1 (a^1=a)\)
负数与0不存在对数 (定义)

3.计算公式

\(1. ~~ x^{\log_x a}=a\)
\(2. ~~ \log_x a+\log_x b=\log_x ab\)
\(3. ~~ \log_x a-\log_x b=\log_x \frac{a}{b}\)
\(4. ~~ \log_x \frac{1}{a}=-\log_x a\)
\(5. ~~ \log_x a^b=b\log_x a\)
\(6. ~~ \log_{x^b} a=\frac{1}{b}\log_x a\)
\(7. ~~ \log_{x^n} a^m=\frac{m}{n}\log_x a\)
\(8. ~~ \log_b a=\frac{\log_x a}{\log_x b}\)
\(9. ~~ \log_a b \times \log_b a=1\)

证明:

设\(x^n=a\),则\(\log_x a=n\)
带入得\(x^{ \log_x a}=a\)
2.
设\(n=\log_x a,m=\log_x b\),则\(x^{n}=a,x^{m}=b\).
\(ab=x^{n+m}\)
\(\log_x ab=\log_x x^{n+m}=n+m=\log_x a+\log_x b\)
3.
设\(n=\log_x a,m=\log_x b\),则\(x^{n}=a,x^{m}=b\).
\(ab=x^{n-m}\)
\(\log_x ab=\log_x x^{n-m}=n-m=\log_x a-\log_x b\)
4.
\(\log_x\frac{1}{a}=\log_x1-\log_xa=0-\log_xa=-\log_xa\)
5.
\(\log_xa^b=\underbrace{\log_x a+\log_x a+\log_x a+ \dots +\log_x a}_{b\text{个}\log_x a}=b\log_x a\)
6.
设\(\log_{x^b} a=n\)
\(\left(x^{b}\right)^n=x^{bn}=a\)
\(\log_xa=bn=b\log_{x^b} a\)
\(\frac{1}{b}\log_x a=\log_{x^b} a\)
7.
\(\log_{x^n}a^m=m\log_{x^n}a=\frac{m}{n}\log_x a\)
8.
设\(m=\log_b a\),则\(b^m=a\)
\(\log_x a=\log_x b^m\\ ~~~~~~~~~~ =m \log_x b\\ ~~~~~~~~~~ =\log_b a \times \log_x b\)
\(\log_b a=\frac{\log_x a}{\log_x b}\)
9.
\(\log_b a=\frac{\log_b b}{\log_b a}\)
\(~~~~~~~~~~=\frac{1}{\log_b a}\)
\(\log_a b \times \log_b a=\frac{\log_b b}{\log_b a} \times \log_b a =\log_b b=1\)