【2024.10.4 闲话】0/99+

今日推歌:没有。明天可能有。
今日 set:也没有。话说应该没人知道 set 是什么吧,总之不是 std::set。

[ARC176E] Max Vector

给你两个长度为 \(N\) 的正整数序列: \(X=(X_1,X_2,\dots,X_N)\)\(Y=(Y_1,Y_2,\dots,Y_N)\)
此外,你还得到 \(M\) 个长度为 \(N\) 的正整数序列。第 \(i\) 个序列是 \(A_i = (A_{i,1},A_{i,2},\dots,A_{i,N})\)
对于每个 \(i = 1,2,\dots,M\),您必须对每个 \(i\) 执行下列操作中的一种。

  • 对于所有 \(1 \le j \le N\), \(X_j\) 替换为 \(\max(X_j,A_{i,j})\)
  • 对于所有 \(1 \le j \le N\)\(Y_j\) 替换为 \(\max(Y_j,A_{i,j})\)

求所有操作后 \(\sum_{j=1}^{N} (X_j + Y_j)\) 的能达到的最大值。
\(1\leq n\leq 10,1\leq m,A_i,X_i,Y_i\leq 500\)

?

可以将 \(\max\) 转化为选择对 \(X_j/Y_j\) 是否赋值,且每个位置只能被赋值一次,每个序列只能对 \(X,Y\) 中的一个赋值。
不难写出 \(O(2^{2N}NM)\) 的 dp。过不了。怎么会事呢?
点开题解,发现自己看错题目了😅😅😅。

求所有操作后 \(\sum_{j=1}^{N} (X_j + Y_j)\) 的能达到的最值。

如果求最小值的话,那不就变成经典最小割模型了吗。那不就做完了吗。

但我仍然在想,如果是求最大值的话,肯定有很多个值用不上,是不是可以找到一种方法把这个 \(M\) 优化掉呢?
可惜,这是我最不擅长的。但是 ??? 说:

  • 显然,对于每个 \(i\),\(A_{*,i}\) 中前 \(N\) 大的数才是有用的,因为一个序列最多被赋值 \(N\) 次;在最优方案中,\(X_i/Y_i\) 的最终值一定大于等于 \(A_{*,i}\) 中前 \(N+1\) 大的数。
  • 这样,有用的位置只有 \(O(N^2)\) 个,只要对于这些位置进行转移就行了,时间复杂度 \(O(2^{N}N^2)\)

明明积累了那么多道题,在考场上为什么却想不出来呢?就像在 spellcard practice 中总是能收卡,在实战中却 0/99+ 一样。
我尝试去追赶他。我什么时候能做到像他一样快,一样强。或许到了某一天,即便没有追上,我也会成为 master 呢(见摘要)。

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