二分图最小点覆盖与二分图最大匹配的关系
一、定义回顾
- 二分图最小点覆盖：
- 给定一个二分图 \(G = (V, E)\)，点覆盖是一个顶点集合 \(S \subseteq V\)，使得对于每一条边 \(e \in E\)，至少有一个端点在 \(S\) 中。二分图最小点覆盖就是所有点覆盖中顶点个数最少的那个点覆盖。
- 二分图最大匹配：
- 在二分图 \(G = (V, E)\) 中，匹配是边的一个子集 \(M \subseteq E\)，其中任意两条边没有公共顶点。二分图最大匹配是所有匹配中边的数量最多的匹配。
二、证明二分图最小点覆盖等于二分图最大匹配（König 定理）
构造性证明思路：
- 设二分图 \(G = (V, E)\) 的两个顶点子集为 \(X\) 和 \(Y\)，最大匹配数为 \(m\)。
- 从一个最大匹配 \(M\) 开始，对于匹配边 \((x, y) \in M(x \in X, y \in Y)\)，如果一个未匹配点 \(u\) 能通过交替路径（由匹配边和非匹配边交替组成的路径）到达另一个未匹配点 \(v\)，就会产生增广路径，这与是最大匹配矛盾。
具体步骤：
- 首先，对于最大匹配 \(M\) 中的每一条边 \((x, y)\) ，要么 \(x\) 在最小点覆盖中，要么 \(y\) 在最小点覆盖中。
- 假设存在一条边 \(e = (x, y)\) ，使得和都不在我们选定的点覆盖中。因为 \(x\) 和 \(y\) 都不在点覆盖中，所以存在一个匹配边 \(e' = (x', y')\)，其中 \(x'\) 和 \(x\) 在同一侧，\(y'\) 和 \(y\) 在同一侧，且 \(x'\) 和 \(y'\) 都在点覆盖中。但是这样就会出现矛盾，因为这条边没有被覆盖。
- 然后，我们可以证明这样选定的点覆盖的大小等于最大匹配的大小。由于每一条匹配边都对应一个点在点覆盖中，而且不会有多余的点（否则会与最小性矛盾），所以
二分图最小点覆盖等于二分图最大匹配。
