Codeforces Round 984 (Div. 3) 题解 A-G-编程知识

Codeforces Round 984 (Div. 3) 题解 A-G

news/2024/11/5 23:04:56/文章来源:https://www.cnblogs.com/Sure042/p/18529045

Codeforces Round 984 (Div. 3)

E. Reverse the Rivers

二分优化，二维数组

E.河流倒流

每次测试时限：2 秒

每次测试的内存限制：256 兆字节

输入：标准输入

输出：标准输出

古代圣贤为了自己的方便，决定改变河流的流向，他们的阴谋将世界置于危险的边缘。但在实施他们的宏伟计划之前，他们决定仔细考虑一下他们的战略--这就是圣人的做法。

有 $n$ 个国家，每个国家正好有 $k$ 个地区。对于 $i$ 这个国家的 $j$ 个地区，他们计算出了 $a_{i,j}$ 这个值，它反映了这个地区的水量。

圣人打算在 $i$ 国家的 $j$ /th区域和 $(i + 1)$ 国家的 $j$ /th区域之间为所有的 $1 \leq i \leq (n - 1)$ 和所有的 $1 \leq j \leq k$ 修建水渠。

由于所有 $n$ 个国家都在一个大斜坡上，所以水会流向数字最高的国家。根据圣人的预测，在通道系统建立之后， $i$ /th国家的 $j$ /th区域的新值将是 $b_{i,j} = a_{1,j} | a_{2,j} | ... | a_{i,j}$ ，其中 $|$ 表示比特 "OR"操作。

在重新分配水源之后，圣人的目的是选择最适合居住的国家，因此他们会向你提出 $q$ 个问题供你考虑。

每个问题都包含 $m$ 个要求。

每个要求包含三个参数：地区编号 $r$ 、符号 $o$ （" $\lt;$ "或" $\gt;$ "）和值 $c$ 。如果 $o$ =" $\lt;$ "，那么在您所选国家的 $r$ /th区域内，新值必须严格小于限值 $c$ ；如果 $o$ =" $\gt;$ "，那么新值必须严格大于限值。

换句话说，所选国家 $i$ 必须满足所有 $m$ 要求。如果当前要求 $o$ = " $\lt;$ "，那么必须成立 $b_{i,r} \lt; c$ ，如果 $o$ = " $\gt;$ "，那么 $b_{i,r} \gt; c$ 。

在回答每个查询时，您应该输出一个整数--合适国家的编号。如果有多个这样的国家，则输出最小的一个。如果不存在这样的国家，则输出 $-1$ 。

输入

第一行包含三个整数 $n$ 、 $k$ 和 $q$ ( $1 \leq n, k, q \leq 10^5$ )，分别是国家、地区和查询的数量。

接下来是 $n$ 行，其中第 $i$ 行包含 $k$ 个整数 $a_{i,1}, a_{i,2}, \dots, a_{i,k}$ （ $1 \leq a_{i,j} \leq 10^9$ ），其中 $a_{i,j}$ 是第 $i$ 个国家的第 $j$ 个地区的值。

然后，描述了 $q$ 个查询。

每个查询的第一行都包含一个整数 $m$ （ $1 \leq m \leq 10^5$ ）。( $1 \leq m \leq 10^5$ )--需求的数量。

然后是 $m$ 行，每行包含一个整数 $r$ 、一个字符 $o$ 和一个整数 $c$ 。( $1 \leq r \leq k$ ， $0 \leq c \leq 2 \cdot 10^9$ ），其中 $r$ 和 $c$ 是区域编号和数值， $o$ 是" $\lt;$ "或" $\gt;$ "--符号。

可以保证 $n \cdot k$ 不超过 $10^5$ ，所有查询中 $m$ 的总和也不超过 $10^5$ 。

n*k<=10^5 可以考虑使用vector存二维数组
a | b >= max(a,b) 按位或只会增大，不会减小，很容易证明
直接暴力复杂度为 q*n*k 到达亿级别不予考虑
如何优化？单调递增！直接考虑二分！

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0),cout.tie(0);ll n,k,q;cin>>n>>k>>q;vector<vector<ll>> a(k,vector<ll> (n,0));for(int i=0;i<n;i++){for(int j=0;j<k;j++){cin>>a[j][i];}}for(int i=0;i<k;i++){for(int j=0;j<n-1;j++){a[i][j+1]=a[i][j]|a[i][j+1];}}while(q--){ll m;cin>>m;ll l=0,r=n-1;bool err=0;while(m--){ll index,c;char op;cin>>index;cin>>op;cin>>c;index--;if(op=='>'){ll mid = upper_bound(a[index].begin(),a[index].end(),c)- a[index].begin();l = max(mid,l);}else{ll mid = lower_bound(a[index].begin(),a[index].end(),c) - a[index].begin();mid--;r = min(r,mid);}if(l>r){err=1;}}if(!err){cout<<l+1<<endl;}else{cout<<-1<<endl;}}}

此题难度不高，但时间不足，不过很容易想到暴力作法，提交发现TLE，便考虑二分优化，缩小查找范围，从而AC

Codeforces Round 984 (Div. 3)

F.XORificator 3000

数论，找规律

F.XORificator 3000

每次测试的时间限制：1 秒

每次测试内存限制：256 兆字节

输入：标准输入

输出：标准输出

爱丽丝多年来一直给鲍勃送礼物，她知道鲍勃最喜欢的是对有趣的整数进行 bitwise XOR。鲍勃认为，正整数 $$x$$$ 如果满足 $$$x \not\equiv k (\bmod 2^i)$$ ，就是有趣的。因此，今年他生日时，她送给他一台超级强大的最新型号 "XORificator 3000"。

鲍勃对这份礼物非常满意，因为它可以让他立即计算出从 $$$l$$$ 到 $$$r$$$ (包括 $$$l$$$ 和 $$$r$$$ )任意范围内所有有趣整数的 XOR。毕竟，一个人的幸福还需要什么呢？不幸的是，这个装置太强大了，以至于有一次它与自己进行了 XOR 之后就消失了。鲍勃非常沮丧，为了让他开心起来，爱丽丝让你写出你版本的 "XORificator"。

输入

第一行输入包含一个整数 $$$t$$$ $$$(1 \leq t \leq 10^4)$$$ --段上的 XOR 查询次数。 $$$(1 \leq t \leq 10^4)$$$ --段上的 XOR 查询次数。接下来的 $$$t$$$ 行包含查询，每个查询由整数 $$$l$$$ 、 $$$r$$$ 、 $$$i$$$ 、 $$$k$$$ 组成。 $$$(1 \leq l \leq r \leq 10^{18}$$$ , $$$0 \leq i \leq 30$$$ , $$$0 \leq k < 2^i)$$$ .

输出

对于每个查询，输出一个整数 - 范围为 $[l, r]$ 的所有整数 $x$ 的 XOR，即 $x \not\equiv k \mod 2^i$ .

注

在第一个查询中， $[1, 3]$ 范围内有趣的整数是 $1$ 和 $3$ ，因此答案将是 $1 \oplus 3 = 2$ 。

XOR：

a^a=0;//自己和自己求异或为0

0^a=a;

a^bb=a;

(1) 如何求出0¹2³...^n

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9...

f(n) 0 1 3 0 4 1 7 0 8 1...

观察可知:4个一循环，分别为：

n、1、n+1、0;

（具体结论可以自行查看其二进制数，最后两位是在00,01,10,11循环，对应的就是n,1,n+1,0）

(2) 如何在1,2,3...,n取满足 ai≡ k (mod 2^j )的所有数的异或和

例如 x ≡ 3 mod 2^4

x为:

000011,010011,100011,110011,…

可以发现后 i 位对异或和没有有影响，只有前几位有影响

因此先对前面n为求异或和，再对最后i位求异或和

对于前面发现是从0000,0001,0010,0011,增长，运用结论1可以快速求出

#include "bits/stdc++.h"using namespace std;
#define int long long
#define endl "\n"
#define PII pair<int,int>
#define PIII pair<int,PII>
const int MOD = 1e9 + 7;bool cmp(PII p1, PII p2) {return p1.first + p1.second < p2.first + p2.second;
}int get(int n) {//0-n求异或if (n % 4 == 0) {return n;}if (n % 4 == 1) {return 1;}if (n % 4 == 2) {return n + 1;}if (n % 4 == 3) {return 0;}
}int delet_uninterest_get(int n, int i, int k) {if (i == 0) {if (k == 0)return get(n);elsereturn 0; // 当i=0且k≠0时，无满足条件的x}int pow2 = 1ULL << i;if (n < k)return 0;int m = (n - k) / pow2;int cnt = m + 1;int res = get(m) << i;if (cnt % 2 == 1)res ^= k;return res;
}void slu() {int l, r, i, k;cin >> l >> r >> i >> k;int sum = get(l - 1) ^ get(r);int notInterest = (delet_uninterest_get(r, i, k) ^ delet_uninterest_get(l - 1, i, k));int res = sum ^ notInterest;cout << res << endl;
}signed main() {ios_base::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);int T;cin >> T;
//    T = 1;while (T--)slu();}

Codeforces Round 984 (Div. 3)

G. Library of Magic

(交互题)二分数论位运算

图书馆中共有 $n$ 种书，每种书有两本，编号 $1$ 到 $n$ ，其中有不同的三本 $a,b,c$ 被偷走，要求通过不超过150次询问找出被偷走的三本书编号：

$"xor\ l\ r"$ ： 位XOR查询，参数为 $l$ 和 $r$ 。设 $k$ 为图书馆中编号大于或等于 $l$ 且小于或等于 $r$ 的此类书籍的数量。你将得到计算结果 $v_1 \oplus v_2 \oplus...\oplus v_k$ ，其中 $v_1...v_k$ 是这些书脊上的数字。也就是说将区间 $[l,r]$ 中所有现存的书籍编号异或在一起。

异或运算基础 XOR Basics

按位异或满足交换律、结合律，另外，异或的逆运算也是异或

$0 \oplus a = a$

$a \oplus a = 0$

$(a \oplus b) \oplus c = a \oplus (b \oplus c)$

$(a \oplus b) (b \oplus c) = a \oplus c$

$a \oplus b = c \Rightarrow a \oplus c = b$

$a \oplus b = c \oplus d \Rightarrow a \oplus c = b \oplus d$

对于每次询问区间 $xor\ l \ r$ ，可能存在以下三类情况

区间中有一个未知数 $a$

此时询问结果即为 $a$
区间中有两个未知数 $a,b$

① $a,b$ 都分布在区间 $l,mid$ ， $mid,r$ 其中一个部分。此时 $xor\ l\ mid = a \oplus b \ne 0$ 且 $xor\ mid\ r = 0$ 或 $xor\ l\ mid = 0$ 且 $xor\ mid\ r = a \oplus b \ne 0$ 我们只需要对不为零的区间继续二分即可。便捷的方法在代码部分讲解。

② $a,b$ 各分布在区间 $l,mid$ ， $mid,r$ 。此时只需要一次二分就能来到第一种情况。

区间中有三个未知数 $a,b,c$

前两种情况都比较明了，易错点主要在第三部分。

① $a \oplus b \oplus c \ne 0$ 这种情况也比较简单，无论三个数出现在 $l,mid$ ， $mid,r$ 哪个区间，总能通过不断二分将它化成第1、2种情况来解决。

② $a \oplus b \oplus c = 0$ 这种情况就比较复杂了，我们无法通过判 $0$ 的方式准确找到未知数所在区间。

但对于这种特殊情况，我们举个例子：

$a$ ：1 0 1 0 0 1

$b$ ： 1 0 0 0 0 1

$c$ ： 0 0 1 0 0 0

对于每一位，有两种情况：三个数为 $0$ 或两个 $1$ 一个 $0$ ，且对于三个数的最高位来说，只能是后者，也就是说有且只有两个数，在最高位上有 $1$ 。那么我们就可以通过一个每一位上都是 $1$ 的数 $A$ ，将区间分为 $[l,A] [A,r]$两部分，将这三个数分开。例如上面的例子中，

$a$ ：1 0 1 0 0 1

$b$ ： 1 0 0 0 0 1

$A$ ： 1 1 1 1 1

$c$ ： 0 1 0 0 0

这时对两个区间进行第1、2种情况中的操作即可。

auto find(int l, int r, int x) {while (l < r - 1) {int mid = (l + r) >> 1;if (ask(1, mid) == x) //只要左半部分询问值为x，就砍掉左半部分l = mid;elser = mid;}return r;
}

函数实现功能为在区间 $l,r$ 中找到最小的且大于 $x$ 的未知数。这样最小值与次小值都可以通过一次函数操作精准找出，不需要那么多组特判。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;#define int long longint T;
int n;auto ask(int l, int r) {cout << "xor " << l << " " << r << endl;fflush(stdout);int x;cin >> x;return x;
}auto find(int l, int r, int x) {while (l < r - 1) {int mid = l + r >> 1;if (ask(1, mid) == x)l = mid;elser = mid;}return r;
}void sol() {cin >> n;int quelr = ask(1, n);int a, b, c;if (quelr == 0) {int cnt = 0;do {++cnt;a = ask(1, (1ll << cnt) - 1);} while (a == 0);} elsea = find(0, n, 0); //b = find(a, n, a);c = quelr ^ a ^ b;cout << "ans " << a << " " << b << " " << c << endl;fflush(stdout);
}signed main() {ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cin >> T;while (T--) {sol();fflush(stdout);}return 0;
}

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