正态分布
1 标准正态分布
1.1概率密度函数
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}
\]
1.2 累计分布函数
\[F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}dt
\]
2 （一般）正态分布
2.1 概率密度函数
\[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}
\]
2.2 累计分布函数
\[F(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt
\]
3 正态分布的性质
3.1 期望
\[E(x) = \mu
\]
3.2 方差
\[D(x) = \sigma^2
\]
3.3 矩
\[E(x^n) = \mu^n + \frac{n(n-1)}{2}\sigma^2
\]
3.4 偏度
\[E(x^3) = \mu^3 + \frac{3}{2}\sigma^3
\]
3.5 峰度
\[E(x^4) = \mu^4 + \frac{6}{2}\sigma^4
\]
