前置：莫队，LCA（太简单了懒得写(bushi)）
1. 树 -> 链
用欧拉序将树转化成序列，然后我们可以发现：
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若 \(\text{lca}(u,v) = u\)，\(u \to v\) 的路径为 \(in_u\) 到 \(in_v\) 的区间中所有只出现一次的点构成的路径。
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若 \(\text{lca}(u, v) \ne u\)，\(u \to v\) 的路径为 \(out_u\) 到 \(in_v\) 的区间中所有只出现一次的点和他们的 \(\text{lca}\)构成的路径。
于是乎，链上信息就转化为了区间信息。好的，莫队启动！
2. 例题
Gym-100962F Frank Sinatra
链上 \(\text{mex}\)。
我们知道区间 \(\text{mex}\) 可以用莫队 + 分块做。
然后套树上莫队板子即可。
注意此题为边权，不用考虑 \(\text{lca}\)，将边权存到深度较深的节点中即可。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10;
int n, m, b;
map<int, int> mp;
int tmp, to[N], a[N];
struct edge {int to, col, nxt;
}e[N * 2];
int h[N], tot;
void add (int u, int v, int w) {e[++ tot] = {v, w, h[u]}, h[u] = tot;
}
int dfn[N], idx, in[N], out[N], ans[N];
int c[N];
void dfs (int u, int fath) {in[u] = ++ idx, dfn[idx] = u;for (int i = h[u]; i; i = e[i].nxt) {int v = e[i].to, col = e[i].col;if(v == fath) continue;c[v] = col + 1;dfs(v, u);}out[u] = ++ idx, dfn[idx] = u;
}
struct ask {int l, r, id;
}q[N];
bool cmp (ask x, ask y) {if((x.l - 1) / b + 1 != (y.l - 1) / b + 1) return x.l < y.l;return x.r < y.r;
}
namespace block {int len, siz, num;int bel[N], le[N], ri[N], cnt[N], hav[N];void init () {siz = 400;for (int i = 1; i <= len; i ++) {bel[i] = (i - 1) / siz + 1, hav[bel[i]] ++;if(bel[i] != bel[i - 1]) le[bel[i]] = i, ri[bel[i] - 1] = i - 1;}num = bel[n], ri[bel[n]] = n;}void add (int x) {if(x > len) return;cnt[x] ++;if(cnt[x] == 0) hav[bel[x]] --;}void del (int x) {if(x > len) return;cnt[x] --;if(cnt[x] == 1) hav[bel[x]] ++;}int getmex () {for (int i = 1; i <= num; i ++){if(hav[i])for (int p = le[i]; p <= ri[i]; p ++)if(!cnt[p]) return p - 1;}return len;}
};
bool vis[N];
void Add (int pos) {int u = dfn[pos];if(!vis[u]) block::add(c[u]);else block::del(c[u]);vis[u] ^= 1;
}signed main() {ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0), cout.tie(0);cin >> n >> m;b = sqrt(n * 2);block::len = n + 1, block::init();for (int i = 1; i < n; i ++) {int u, v, col;cin >> u >> v >> col;add(u, v, col), add(v, u, col);}dfs(1, 0);for (int i = 1; i <= m; i ++) {int u, v;cin >> u >> v;if(in[u] > in[v]) swap(u, v);q[i].l = out[u], q[i].r = in[v], q[i].id = i;}sort(q + 1, q + 1 + m, cmp);int l = q[1].l, r = q[1].l - 1;for (int i = 1; i <= m; i ++) {while(l < q[i].l) Add(l ++);while(l > q[i].l) Add(-- l);while(r < q[i].r) Add(++ r);while(r > q[i].r) Add(r --);ans[q[i].id] = block::getmex();}for (int i = 1; i <= m; i ++) cout << ans[i] << endl;return 0;
}
