参考博客：
空间拓扑关系描述:9交叉模型(DE-9IM) | 会飞的大象
DE-9IM 空间关系模型 - 乌合之众 - 博客园
DE-9IM 空间关系模型 与Boost Geometry Lib - SuperVan - 博客园
简述
DE-9IM 是Dimensionally Extended 9-Intersection Model的缩写，它是Egenhofer在《point set topological spatial relations》中提出的，用于描述两个二维几何对象（点、线、面）之间的空间关系的一种模型，它使用一个 3 x 3 的矩阵来描述几何关系类别（相交部分的维度）。
维度（Dimension）的定义
dim是dimension的缩写，指的是维度。在计算几何中，维度是几何要素的重要信息之一，通过维度，可以进行一些判断。比如，高维度的要素(比如线)，是不可能within在低维度的要素中的(比如点)。再比如，两个要素的交集的维度不会超过两者维度中最小者。在geos中(以及其他类似系统)：
- 多边形的维度是2，含组合多边形，带洞多边形等。
- 折线的维度为1，含多线。
- 点的维度为0，含多点。
- 空集(无交集)维度为F。
讲到这里，我们有必要了解不同类型的几何对象的内部，边界，外部各指的是什么。
内部，边界，外部的定义
对于多边形，内部是多边形的外环和内环围起来的面部分，边界由内环和外环构成，外部是除内部和边界以外的空间其他所有部分。
对于线要素，边界是线首尾节点(中间节点不算)，内部是线上除了首尾节点之外的部分。外部是空间除了内部与边界的部分。
点要素的内部是点本身，其边界是空集，外部是除了点本身外的空间其他部分。当然，对于点与其他要素的拓扑关系，我们通常习惯用“点在对象上”、“点不在对象上”进行描述，而且，在空间关系的计算上，也会按照这样的思路设计算法。我的意思是，对于点的拓扑关系处理一般先判断“点是否在对象上”然后填充9交叉模型矩阵的，而不是像多边形之间的关系判断。
空间关系
相离（Disjoint）
相离关系就是两个几何对象相互独立，二者之间没有任何相接触到的地方。形象的说，比如一张纸上画了两个多边形（或者点或线），你可以再画一条线把它们分开，而且这条画的线可以不碰到这两个多边形。
相交（Intersects）
相交是指两对象的内部或边界存在交集，相交关系广泛的存在于点、线、面三种对象之间，同时它也包含了其他种类的拓扑关系。
包含（Contains）
包含表示一个几何对象完全在另一个几何对象内部。
下面图是红色几何对象包含（Contains）了蓝色几何对象的在其里头的示意图。
点不可能包含线和面，线也不可能包含面在里头，所以有三个位置是X。
被包含（Within）
被包含（Within）一般也描述为在什么内部（所以也有用inside的），表示一个几何对象完全处于另一个几何对象内部。这个其实就是包含（Contains）的反向关系。
就是说 A Within B 就等于是 B Contains A。
下面图是红色几何对象被包含（Within）在蓝色几何对象里头的示意图。
等于（Equals）
等于（Equals）表示两几何对象完全一致（包括形状和位置），是一种完全重合的情况。
下面图是红色几何对象等于（Equals）蓝色几何对象的示意图。
横跨（Crosses）
横跨关系一般又叫做交叉或者跨立，这里我还是觉得横跨比较合适。
横跨关系一定是建立在线与线或者线与面之间（可以理解为线才能够横在别的形状上嘛）。
下面图是红色几何对象横跨（Crosses）在蓝色几何对象的上面的示意图。
重叠（Overlaps）
重叠（Overlaps）表示两个几何对象对象之间有一部分是重合的情况（完全重合就是Equals了）。
重叠只发生在线-线、面-面之间，线与面只能是Crosses、Within或者Touches，点没有长度和面积（就是不存在部分，不可以分割），不可能Overlaps。
下面图是红色几何对象重叠（Overlaps）在蓝色几何对象上的示意图。
触碰（Touches）
触碰（Touches）这个一般又叫做接触或者触及，表示两个几何对象的边界部分有重合部分的情况，也就是说两个几何对象有公共点或者公共边线的情况。
点和点之间是没有Touches关系，点和线与面的触碰关系一定是点在线的端点或者面的边上。
线和面两种形状之间的Touches关系可能是有公共点，也可能是有公共边。
DE-9IM 模型
DE-9IM模型图示
DE-9IM模型把几何对象分为内部、边界、外部三个部分，两个几何对象这三个部分两两之间的关系，就可以组合为一个3X3大小（就是9个值）的矩阵，这9个值的组合，就表示两个几何对象的空间关系。
| DE-9IM | 内部 (Interior) | 边界 (Boundary) | 外部 (Exterior) |
|---|---|---|---|
| 内部 (Interior) |  |
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| 边界 (Boundary) |  |
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| 外部 (Exterior) |  |
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如上图所示，淡紫色的多边形为条件几何对象（A），淡红色的多边形为测试几何对象（B），图中的黑色部分表示两个几何对象对应的部分（内部、边界、外部）之间的相交（或者说重合）部分（A.[I/B/E] intersection B.[I/B/E]）。
DE-9IM模型的布尔形式
9交叉模型交集矩阵的定义域为{F,0,1,2}，那么一共可能有49种可能的拓扑关系。简单的考虑到外部与外部的交集的维度一定是2 ，那么可能的拓扑关系仍有89种，考虑很多种关系是矛盾的，剩下的组合仍然很多。这与我们希望直观，简单的表达拓扑关系的目标相差甚远。实际上，常见的拓扑关系描述符大概10种左右。为了方便描述这些关系，可以对矩阵的定义域做补充：
- 0,1,2表示非空，用T进行表示；
- 空集仍然用F表示；
- 引入*表示是什么都可以，geos中为“DONTCARE”
我们常用的拓扑关系描述符，就是采用上述6种类型描述出来的。
常用拓扑关系描述
Intersects
相交是指两对象的内部或边界存在交集，对应下面四种Intersection Matrix
就是说 对应Interior,Boundary的2×2的部分任意一个单元是T就可以了，其他的都“DONTCARE”。注意，这些矩阵都是对称的。
Disjoint
相离就是不相交，因此对应于相交的“Interior,Bountry 任意存在交集”，相离的定义是Interior,Boundary均不存在交集。
，这个矩阵也是对称的。
Contains
A.Contains(B)表示B完全在A内部。即A,B的interior相交并且 B的Interior与Boundary均不与A的exterior相交。
Within
Within 与Contains互为转置。A.Contains(B) = B.Within(A)。为什么叫互为转置呢，这是因为within的相交矩阵是Contains矩阵的转置就好了。
Equal
Equal表示的是A和B的形状完全相同(但是，并不代表他们所有的坐标都是完全一样的。A或者B都可能有冗余的坐标，比如多点共线)。Equal的交集矩阵是内部相交，但任意一方的内部与边界均不与对方的外界相交
Overlap
叠置判断对A与B的维度有要求，要求A与B的维度相同，并且要求A与B的内部的交集的维度与AB的维度相同。因为多边形(面)之间的交集，点之间的交集均与他们的维度相同，线之间的交集可能会是点，线两种情况，所以特别将线与面、点之间的矩阵进行了区分,要求线的内部交集为线。
面、点的叠置矩阵：
线叠置矩阵:
Touch
Touch表示的是两个几何要素之间的临接关系。touch关系的要点是：
两个元素的内部(interior)不能有交集,但是内部与边界，边界与边界可以有交集。
参与的两种元素不能同时为点类型。(点没有边界，内部与内部不相交变成相离了)
三个矩阵中，前两个互为转置关系，最后一个是对称矩阵。所以说这个关系也是对称的。
Cross
穿越的定义是A与B的内部有交集，但交集的维度要比A与B最大的维度要小。按照这个标准，点点与面面不可能存在cross关系，因为他们内部的交集的维度与他们的维度是相同的。同样，对于线线的交集要区别对待，指定其内部的交集为0(而不是1)。
非线线交集矩阵：
线线交集矩阵：
对拓扑关系的分析：从矩阵的角度
从上述9交叉模型矩阵的表达上，能分析出很多信息。
1. 如果交集矩阵是对称的，那么对应的拓扑关系满足交换律的。
A.Relation(B)=B.Relation(A)
可以交换的拓扑关系有(对应矩阵对称)：
Intersects, Disjoint, Equal, Overlap, Touch, Cross(线线)
不可以交换的拓扑关系有：
Contains, Within, Cross(非线线)
2. 如果两个关系矩阵互为转置，那么这两个关系可以调换位置
A.Relation1(B)=B.Relation2(A)。满足条件的关系有：
Contains, Within
3. 如果两个矩阵互补，那么两种关系也是互斥关系。满足条件的关系有
Intersects, Disjoint
4. 拓扑关系之间的关系
上述8种关系并全不是互斥的，元素A,B可以同时满足多种拓扑关系。可以将这些拓扑关系的“关系”使用韦恩图来描述：
![LeetCode 3014[输入单词需要的最少按键次数I]](https://img2024.cnblogs.com/blog/3512406/202411/3512406-20241109162659784-138820166.png)
