克罗内克积 (Kronecker积)

\(\textbf{Kronecker}\)积也称为克罗内克积, 是一种特殊的矩阵运算, 简单来说就是两个矩阵 "相乘" 结合为一个更大的矩阵.

对于矩阵\(A\)和\(B\), 若\(A\)为\(m \times n\)维度的矩阵, \(B\)为\(p \times q\)的矩阵, 则他们的Kronecker积, 记作: \(A \otimes B\)是一个\(mp \times nq\)维度的大矩阵.

例如:
矩阵

\[A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \]

\[B = \begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} \\b_{21} & b_{22} \\ \end{bmatrix} \]

则

\[A \otimes B = \begin{bmatrix}a_{11}b_{11} & a_{11}b_{12} & a_{12}b_{11} & a_{12}b_{12} \\ a_{11}b_{21} & a_{11}b_{22} & a_{12}b_{21} & a_{12}b_{22} \\a_{21}b_{11} & a_{21}b_{12} & a_{22}b_{11} & a_{22}b_{12} \\ a_{21}b_{21} & a_{21}b_{22} & a_{22}b_{21} & a_{22}b_{22} \end{bmatrix} \]

每个\(A\)矩阵的元素都会乘以\(B\)矩阵，生成一个对应大小的子矩阵，最后组合成一个更大的矩阵。
克罗内克积的结果维度是 $ (m \times p) \times (n \times q) $，维度很大。