线性方程组 入门概念

解释如下概念

• 入门对比
  1. 齐次vs非齐次
  2. 线性vs非线性
  3. 微分vs求导vs积分
  4. 方程组vs矩阵乘法
• 齐次线性方程组
  1. 永远存在零解
  2. 基础解系vs通解
  3. 存在非零解↔︎A不满秩
  4. r(A) + η的数量 = n (x的列有多长)
• 非齐次线性方程组
  1. Ax=b 的2个解互减，即 ξ₁-ξ₂ 是 Ax=0导出组 的解
  2. Ax=b 的解 ξ+kη ，其中 k∈R，η是Ax=0的解
  3. Ax=b 有解 ↔︎ rA = r[A,b]增广矩阵
  4. Ax=b 无解 ↔︎ rA = r[A,b]-1

入门对比

齐次vs非齐次

所有x的阶数/次方相同

1. k次齐次函数： f(λx₁+λx₂+...+λxₙ)=λᵏ · f(x₁+x₂+...+xₙ)

   • 0次齐次函数 \(\frac{y}{x}\)=\(\frac{λy}{λx}\)=λ⁰·\(\frac{y}{x}\)
   • 1次齐次函数 = 线性函数 f(x₁,x₂,x₃...)=k₁x₁+k₂x₂+k₃x₃=λ¹·f(x₁,x₂,x₃...)
   • 2次齐次函数 = 二次型 = 双线性
     f(x,y) = 类(x+y)² = ax²+bxy+cy² = λ²·f(x,y)
     f(x₁,x₂,x₃...)=ΣΣkᵢⱼ xᵢ xⱼ=λ²·f(x₁,x₂,x₃...)

2. 齐次方程: 齐次函数=0
   非齐次方程: 齐次函数=b=x⁰

3. 联立这些(非)齐次方程，得(非)齐次方程组

线性vs非线性

1. 线性: 加性，齐次比例性
2. 齐次非线性方程
   $ F(x, y, y', y'', \ldots, y^{(n)}) = 0 $
   这里 $ F $ 是一个非线性函数，$ y $ 是未知函数，$ y', y'', \ldots, y^{(n)} $ 分别表示 $ y $ 的一阶、二阶、……、$ n $ 阶导数。

   1. 一阶齐次非线性微分方程：
      $ y' = f\left(\frac{y}{x}\right) $
      这是一个常见的齐次非线性方程形式，其中 $ f $ 是一个非线性函数。

   2. 二阶齐次非线性微分方程：
      $ y'' + y^3 = 0 $
      这里 $ y'' $ 表示 $ y $ 的二阶导数，$ y^3 $ 是 $ y $ 的三次幂，这是一个非线性项。

   3. 更高阶齐次非线性微分方程：
      $ y''' + (y')^2 + y^4 = 0 $
      这个方程包含 $ y $ 的三阶导数、一阶导数的平方以及 $ y $ 的四次幂，都是非线性项。

微分vs求导vs积分

1. 微分dx，求导y'=\(\frac{dy}{dx}\)，积分∫x dx
2. 微分方程(即有求导)
   1. 微分方程中的齐次
      此处的“齐次”通常指的是方程中没有自由项（即不依赖于未知函数及其导数的项）。如：y′′+ p(x) y′+ q(x) y=0

TODO 待复习：微分定义

方程组vs矩阵乘法

线性方程组 与 矩阵乘法Ax=b 可以互相转换

齐次线性方程组

永远存在零解

非齐次 不存在 零解，因为Ax=b，右侧不是0，而是b；所以非齐次会有“无解”的可能，而齐次至少有“零解”

flowchart LR q(齐次) --> 0[零解] q --> f0[非零解]

flowchart RL f(非齐次) --> n[无解] f --> y[有解]

基础解系vs通解

1. 解，或解向量，如：

\[η= \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ v_3 \\ \vdots \end{bmatrix} \]

其中v1~vn为具体的数值(value)
与x1~xn一一对应

2. 基础解系，或基向量，由一系列线性无关的解向量组成的解空间，如：η₁,η₂,η₃,...

   • 线性无关，是保证 η₁,η₂,η₃... 始终是极大线性无关组，即不能有重复解
   • 零空间是 Ax=0 的所有 x 组成的空间

3. 通解，因为存在非零解，所以A不满秩，造成x1~xn内有一部分自由项。如：

\[\vec{x}=f_3 \begin{bmatrix} v_{1}=a \\ v_{2}=b \\ v_3=1 \\ v_4=0 \\ \end{bmatrix} + f_4 \begin{bmatrix} c \\ d \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \]

其中有2个自由项x3,x4，对应f3,f4(也可以换成i,j)
有通解，也表示解在约束条件下，是无穷尽的。解不唯一

存在非零解↔︎A不满秩↔︎rA<n

系数矩阵 \(A_{m×n}\)

• A满秩，此时x1~xn不自由，只有η=0的零解
• A不满秩，此时x1~xn有自由项，存在 n-rA 个非零解。解与系数矩阵的秩(约束)，呈 此消彼长，即rA越大，对解的约束越多，x1~xn越不自由，解η的数量就越少。

复习书上写了些废话：

• m<n，横长方形的A，则Ax=0必有非零解
• m=n，A为方阵，行列式|A|=0 (只有方阵，才能计算行列式、逆矩阵)

非齐次线性方程组

Ax=b 有解 ↔︎ rA = r[A,b]

b可由A的列向量线性表出
新加入的b列，不会扰乱原有的秩序

• 只有特解作唯一解：rA = r[A,b] = n
• 多个解：rA = r[A,b] < n

Ax=b 无解 ↔︎ rA = r[A,b]-1

假如A化成最简型，那么方程组的最后一个方程会是 0=b，这样就无解了。
就因为加入的一列，所以就解不出来了。那就应该是增秩了。

不能用满秩来判断无解，可以说当rA=n时，A与[A,b]都恰好满秩。但无解只需要rA = r[A,b]-1