[HAOI2015] 树上染色
思路：
先考虑怎么计算答案，后动态规划。
数学部分：
我们发现此题让我们计算最大收益，那我们考虑一种染色方案的收益是怎么算出来的：
显然总收益为所有边贡献之和，一条边对收益的贡献显然是经过它的次数与它的权值之积，那么总收益就是 \(\sum (w[i] \times time[i])\)。
接下来考虑计算一条边经过次数：
我们设这一条边的两个端点分别为 \(u\)，\(v\)，用 \(size[i]\) 表示以 \(i\) 为根的子树的大小，\(black[i]\) 表示以 \(i\) 为根的子树的黑色点个数，\(white[i]\) 表示以 \(i\) 为根的子树的白色点个数，那么有：
\(time[i]=black[u] \times black[v] + white[u] \times white[v]\)。
且恒有 \(size[x]=white[x]+black[x]\)。
动态规划：
用 \(f[u][i]\) 表示 \(u\) 的子树中选 \(i\) 个黑色点所获得的最大收益，枚举点 \(u\) 的出边，设出边所到的点为 \(v\) 那么分别枚举以 \(u\) 和 \(v\) 为根的子树选多少个黑色的点更新答案即可。
注意这里要由大到小枚举选点数量，因为转移是由小范围到大范围，如果由小到大枚举就会用到之前更新的答案导致重复计算。
动态规划不是本题重点，因此不过多赘述，请结合数学部分以及代码理解。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
ll n, k;
ll head[2005], cnt;
ll f[2005][2005], size[2005];
struct node {ll v, w, ne;
}e[5005];
void add(ll u, ll v, ll w) {e[++cnt]={v, w, head[u]};head[u]=cnt;
}
void dfs(ll u, ll fa) {size[u]=1;for(int i=head[u], v; i; i=e[i].ne) {v=e[i].v;if(v==fa) continue;dfs(v, u);for(int x=size[u]; x>=0; x--) { //枚举u子树选多少点for(int y=size[v]; y>=0; y--) { //v子树选多少点if(x+y>k) continue; //越界跳过ll time=(y*(k-y))+((size[v]-y)*(n-k-size[v]+y));/*(y*(k-y))表示black[v]*black[v]*//*((size[v]-y)*(n-k-size[v]+y))表示white[v]*white[u]*/f[u][x+y]=max(f[u][x+y], f[u][x]+f[v][y]+e[i].w*time); //f[u][x+y]由f[u][x]和f[v][y]转移过来，所以要倒序枚举}}size[u]+=size[v];}
}
int main() {cin >> n >> k;for(int i=1; i<n; i++) {ll u, v, w;cin >> u >> v >> w;add(u, v, w), add(v, u, w);}dfs(1, 0);cout << f[1][k];return 0;
}
%20/image-7.png)
