函数的连续性
定义：\(\lim_{x\to x_0} f(x)=f(x_0)\iff f(x)\text{在}x_0\)处连续。
例题 若\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}a+bx^2,& \text{if } x \leq 0 \\ \frac{\sin bx}{x},& \text{if } x>0\end{array}\right.\)，在\(x=0\)处连续，则a，b的关系为什么？
解：
因\(f(x)\)在分段点\(x=0\)处连续，\(\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^-} f(x)=f(0)\)。
当\(x=0\)时，\(f(0)=a\)，\(\lim_{x\to 0^+} f(x)=a\)。
所以\(\lim_{x\to 0^+} \frac{\sin bx}{x}=a\)，而\(\sin bx\sim bx\)，所以结果\(b=a\)。
函数的间断点
定义：
间断点：不连续的点即间断点（一般都是没有定义的点和分段点）。
第一类间断点
特点：左右极限均存在
可去间断点：\(\lim_{x\to x_0^-} f(x)=\lim_{x\to x_0^+} f(x) \not=f(x_0)\)。
跳跃间断点：\(\lim_{x\to x_0^-} f(x)\not=\lim_{x\to x_0^+} f(x)\)。
无穷间断点
特点：\(\lim_{x\to x_0^-}=\infty\) 或 \(\lim_{x\to x_0^+}=\infty\)。只要有一侧趋于无穷，就是无穷间断点。
振荡间断点
特点：间断点两侧被函数无限振荡趋近。
例如：\(\sin \frac{1}{x},\cos \frac{1}{x}\)。
例题 函数\(f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}\)的可去间断点有几个？
解：
先判断有多少个无定义点，分母为0无定义，可解得：\(x=0,x=\pm 1,x=\pm 2...\)。
从无定义点中找到可去间断点：
当\(x\to 0\)，\(\lim_{x\to 0} f(x)=\lim_{x\to 0} \frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\lim_{x\to 0} \frac{1-x^2}{\pi}=\frac{1}{\pi}\)，极限存在，所以是可去间断点。
当\(x\to 1\)，\(\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1} \frac{1-x^2}{\sin \pi x}=\lim_{x\to 1} \frac{-2x}{\pi\cos\pi x}=\frac{2}{\pi}\)，极限存在，所以是可去间断点。
类似的，-1也是可去间断点。
但+2，-2，+3，-3经计算可得知为无穷间断点：
当\(x\to 2\)，\(\lim_{x\to 2} f(x)=\lim_{x\to 2}\frac{x(1-x^2)}{\sin \pi x}=\infty\rightarrow x=2\)为无穷间断点。
因此该函数的可去间断点有三个。
