NOIP 2024 游记 & 赛前训练总结
前面都是比赛前的训练，会含有一些比赛经验。游记写在最后。
day #-18（11.11）
赛时
今天做信友错的模拟赛。
第一题是和最短路有关的，看到 \(n\le 500\) 就想到了 \(n^3\log n\)，然而看了很久都不会做，于是果断火速打了 \(O(n^4)\) 的暴力走人，get 50pts。
然后看第二题，发现是最大异或路径，正好最近刚学了线性基，于是想到之前做的一道线性基的题目，把每个环加入线性基。然后就能做到 \(n^2\)，再补一个树的性质。get 55pts。此时比赛刚过一小时。
很快啊，其他人还在做 T1，我就开了 T3。看了一会想到用并查集维护，再记录修改前的以实现撤销。发现大样例都过了，此时我还以为复杂度是正确的，此时比赛刚刚过半。但是去了一下洗手间，就想到可以构造一条链卡到平方，这个做法只能过随机的性质和不撤销的性质。于是又补了链的性质。get 55pts。
此时光靠暴力已经得到 160pts 了。
比赛刚过半，看了一下第四题，觉得还是要先补一下第一题的性质，补了一个性质 A，多得了 10pts。
这时我去尝试想中间两道题的正解，无获，于是开始打最后一题的暴力。
后半程有点松弛。
发现暴力分很多啊，在最后 20 分钟写完了 \(n\le 9\) 的 40pts 暴力，然后又补了前两个性质共 8pts。
赛后 & 总结
然后——比赛结束，最后一题 48pts \(\to\) 60pts，最后总分 \(50+55+55+60=230\) 喜提总榜 14，jz 第 3，原来是暴力场。
赛后发现 T1 是线段树分治的思想，还有 Floyd 插入单个点的技巧，我们只以一个点集内的点为中转点转移（插入顺序没有要求），就可以求出只经过（不包括起点终点）这个点集内的点的最短路。
T2 是线性基的结论，\(qmax(i\oplus j)=qmax(i)\oplus qmin(j)\)。
T3 是树剖+线段树的 4K 大数据结构，就是把轻链的贡献全部挂在重链上，有点类似动态 DP 那种。
T4 是论文题，用结论的式子计数。而暴力就是递归，然后在递归过程中进行剪枝就能跑得比较快。
总结：这场比赛时间分配还不错，前面暴力打得比较快，调试也没花多少时间，大概是经验越来越丰富了吧。但可惜后面充裕的时间内没有想出正解，其实正解是不难的，还有提升空间。
改题经验
改 T3 的时候有一个数组没开 long long，幸好很快就查出来了。
改 T1 的时候在分治时把枚举 \([l,mid]\) 写成 \([1,mid]\) 了。
day #-14（11.15）
今天输了！
20:35 开始打 CF div.2。
顺序开题。
T1 是唐题，T2 是唐题。
T3 我蠢了，1 h 时还没过，于是去写 T4。
T4 也想了不少时间，终于想到一个用 set+BIT 的做法。
T5 是树同构，我还以为要换根于是没写。
T6 是交互，没看。
最后成果：T1+T2+T4。
赛后发现 T3 的正解就是我想的那样，结果 tm 的 T5 的同构是有根树下的，又被骗了。
谴责 CF 的题面跟 shi 一样长。
总结：
- 要有耐心，不要因为前面的题不会，后面就不去想了。
- 不要花太多时间在一道题目上，扔掉后就不要再去想它了。
day #-13（11.16）
今天又做心有错。
T1 简单题。
后面都不会做，把暴力都拿了。
预计：100+60+60+50=260。
实际：72+60+60+20=212。
T1 我自信地认为 \(n^3\times V\) 不会爆 long long，导致我没有取模。
而 T4 不知道为什么 \(O(n^3)\) 没有拿到第二档分，tm 的 OI 赛制还绑 subtask。
赛后
T2 是对于长度相同的区间的线段树是同构的，运用这个性质记忆化递归。
T3 题面很简单，正解是神奇哈希，被骗啦，哈哈哈，把 shi 题放在 T3 让人以为是科技题。大概是把 \(n\) 个位置用哈希值转化成 \(\sum\) 个字符的不同情况。
T4 是分治，矩形分为跨过分界线和不跨过两种，不跨过是子问题，递归求解；跨过可以暴力做。每次对当前矩形割长的一边，这样复杂度就正确了，时间是 \(T(n)=4T(n/2)+O(n^2)=n^2\log n\)。
总结
- 要有耐心，要充分利用时间。
- 要注意数据范围，记得取模，不要想当然。
- 神奇的题要想想神奇的算法，比如哈希之类的，这又让我想起星战那道奇葩题。
dsy #-9（11.20）
心有错。
赛时
T1 想到二分答案，然后就不会做了，我都要以为是罚坐场了。
前面浪费了一个小时，然后去开 T2，写了一个 \(O(n^2)\) 暴力，对着边权讨论一下，然后终于想到了用线段树模拟最短路的过程，写完已经十一点了。
后面的时间打了剩下三题的暴力，这时感觉 T4 有点像哈希，但是觉得敲不出来了，就没继续想。
赛后
发现 T1 是我不会证的结论（猜结论题），T3 是 SG 函数的规律（打表题），T4 真的是哈希。
之后新学了博弈论相关的知识。
总结
- 这场比赛在第一题浪费太多时间了，应该猜到题目不按难度排列的，一定要先做擅长的题和有想法的题。
day #-4（11.25）
今天的题都挺好的，但就是我没做出来几道，感觉思维不够敏捷了？这一周一定要努力了。
今天还是做心有错，T1 浪费了我一个半小时，T2 已经接近正解了，T3 用了错解结果过了，T4 其实不算难题但我没看。
T1
TAG：线性筛、质因数分解、最优化分解。
这道题很容易想到 \(O(T\dfrac{\sqrt[k]n}{\ln\sqrt[k]n})\) 的做法，就是当 \(k=3\) 时，质数分解到 \(2^{20}\)，之后枚举所有质数即可。
然后我就绞尽脑汁没想到正解，但我想到和正解很接近的思路：
发现有很多小的质数对答案没有贡献，那怎么去掉它们呢？
然后我并不知道怎么去掉它们，原来只需要把 \(\sqrt[k+1]n\) 的质数筛掉，剩下的最多是三个质数相乘，这个时候直接把剩下的 \(n\) 开根即可，时间复杂度 \(O(T\sqrt[k+1]n)\)，由于 \(k\) 随机所以可过。
细节：我们需要用 powl(n,(long double)1/K) 进行开根，但由于指数是小数，所以还是有精度问题，我们还需要 roundl 进行四舍五入。
T2
TAG：逆序对、二维平面、扫描线。
这题我比赛时想到了：
如果选 \(i,j(i<j)\)，那么答案为 \(1+2\sum_{k=i+1}^j [a_i>a_k>a_j]\)。
赛时写了一个严格 \(O(n^2)\) 的做法，就是预处理 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个数中 \(a_i\) 大于 \(j\) 的个数。
赛时还想到放到二维平面上，把每个位置看成一个点 \((i,a_i)\)，那么就是求一个矩形内点最多有多少个，要满足矩形左上角和右下角是一个点。
赛时觉得左上角应该是一个上凸包，右下角是一个下凸包，然后时间不够了，也没有再深度思考。
而实际上左上角是前缀最大值，右下角是后缀最小值。
发现我们枚举点对 \((i,j)\) 不好统计，而且点对也是 \(O(n^2)\) 的。
考虑 \((k,a_k)\) 对那些 \((i,j)\) 有贡献。
发现满足条件的 \(i\) 是一个区间 \(j\) 也是一个区间，记它们为 \([l_{1,k},r_{1,k}],[l_{2,k},r_{2,k}]\)。
那么再把它放到二维平面上，就是 \(x=[l_{1,k},r_{1,k}],y=[l_{2,k},r_{2,k}]\) 的一个矩形内的点有 \(+1\) 的贡献。
那么线段树扫描线找到被最多矩形覆盖的点即可。
把一个矩形 \([l_{1,k},r_{1,k}],[l_{2,k},r_{2,k}]\)，分为 \((l_{1,k},r_{1,k},l_{2,k},1)\) 和 \((l_{1,k},r_{1,k},r_{2,k}+1,-1)\) 即可。
T3
TAG：最小生成树、Prim、Kruskal、线段树、均摊、启发式合并。
做法 1
考虑 Kruskal。
把点按点权重标号，然后用 vector 和并查集维护每一个连通块内的点与每个点属于哪一个连通块，set 维护当前每个不同的连通块编号。
对于给的边就直接加；对于剩下的边，我们每次尝试向一个不同连通块内的点连边，失败次数是 \(O(m)\) 的，成功次数是 \(O(n)\) 的，于是均摊复杂度就是正确的。
合并 vector 需要启发式合并。
时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
考场上想到了均摊，但是没想到如何维护不同的连通块，但是写了一个相似的可以被卡掉的做法，但结果过了。
做法2
考虑 Prim，也就是每次找离连通块内最近的点加入连通块。
可以用线段树维护离连通块的距离与取出一个最近的点。
更新距离时，所有点的更新被给定的边分成了 \(O(m+n)\) 个区间赋 \(a_i\)。
时间复杂度 \(O((n+m)\log n)\)。
T4
发现取带权重心最优。
这题是动态寻找带权重心，用倍增找。然后权值和需要用较复杂的容斥，需要预处理多个树上 DP 数组，同时还需要换根 DP。
用到的算法并不难，一些结论也大概能猜到，就是在计算上的细节比较多。
总结
- 题目难度不一定顺序，不要花太多时间在看起来很简单的题上。
- 正难则反，多从不同角度思考问题。
- 多从学过的算法中找思路和灵感。
- 使用
powl时，记得用ruondl，记得用long double。 - 可以尝试把序列上的统计问题放到二维平面上思考。
- 统计 \(x\) 有多少个 \(y\) 时，可以考虑对于每个 \(y\) 思考它能贡献到哪些 \(x\)。
- 可以用线段树扫描线做最多覆盖问题，用差分做矩形的扫描线。
- 用启发式合并合并
set，vector等。 - 最短路、最近点可以考虑放到线段树上优化更新和取点。
- 树上问题多考虑考虑重心或直径，从中寻找性质。
day #-3（11.26）
P1445 [Violet] 樱花
下午做了这一道奇葩的蓝题，我想了一个小时都不会做。
题意大概是给定 \(n,1\le n\le 10^6\)，问 \(1/x+1/y=1/(n!)\) 的正整数解的个数。
大概是这样的：
于是可以得到 \(y>n!\)，那么设 \(y=n!+k\)，\(k\) 是正整数。
带入得
于是对于任意 \(k\) 满足 \(k\mid n!^2\)，都有对应的一个 \(x\)，也就有对应的一组 \((x,y)\)。
于是答案就是 \(d(n!^2)\)，考虑枚举每个质数 \(p\) 的倍数，计算 \(p\) 在每个数中的指数和，记为 \(cnt_p\)，答案就是 \(\prod_p(cnt_p+1)\)。
时间复杂度为 \(O(n\ln n)\)。
day #-2（11.27）
今天挂了 90 pts！！！
原因是 T1 在本地过了大样例后没造大数据，也没写对拍，于是最终的代码数组越界，然而测大样例时数组越界在 windows 下还能正常跑！
以后一定要造大数据或者在虚拟机上跑，windows 不可信。
今天做信友队。
T1
TAG：容斥、枚举。
T1 考虑如果两个点集有交，那么交的部分就减去，枚举一个点，再枚举两个有交点集所在的位置，给它们打上一个减去的标记，这部分是 \(O(nmk^2)\)。
然后枚举两个点集计算答案，这部分是 \(O(n^2m^2)\)。
于是时间和空间都是 \(10^8\) 级别。
T2
TAG：随机化、调整法。
sb 出题人把 sb 脑电波题放在 T2，全场没人过。
题目大意：对于一个 \(n*n\) 的方阵，每个格子是 \(0/1\)，方案数定义为不经过 \(0\) 每次往下或往右，从左上角走到右下角的方案数。求构造一个方案数为 \(L\) 的 \(n\le 30\) 的方阵。
这道题是随机化，然而 sb 题解并没有证明，代码也很好打，就是调整法，每次贪心地调整最大的，多随机几次初始矩阵就可以通过。
T3
TAG：背包、增量构造、多项式、递推。
这题是好题。
题目大意：给你 \(n\) 行 \(m\) 列数字，每行选一个数，求在所有选择方案中选出的数的中位数的期望。
赛时做法
考虑枚举最后的中位数 \(x\)，然后计算中位数为 \(x\) 的方案数，考虑背包设 \(f_{i,j,k}\) 表示前 \(i\) 行选了 \(j\) 个小于 \(x\) 和 \(k\) 个等于 \(x\) 的方案数。
由于 \(k\) 上界的和为 \(O(nm)\) 于是复杂度为 \(O(n^3m)\)。
我真的不懂为什么 \(O(n^4)\) 和 \(O(n^5)\) 都一样只有 20pts，但愿正式赛会好一点。
然后我就想怎么优化，发现这样求方案数的话，不同中位数之间是没有关联的。
考虑求中位数小于等于 \(x\) 的方案数 \(ans_x\)，于是等于的就是 \(ans_x-ans_{x-1}\)。
中位数小于等于 \(x\) 的方案数就要求至少有 \(\dfrac {n+1} 2\) 行选的数要小于等于 \(x\)，发现这只与每一行小于等于 \(x\) 的数的个数有关。
然后我就不会了，觉得这个东西还是需要背包。
正解
我们考虑可以把背包刻画成多项式的形式，如果我们要求中位数小于等于 \(x\) 的，设 \(cnt_i\)为第 \(i\) 行小于等于 \(x\) 的个数，那么就有 \(ans_x=[x^{\frac{n+1} 2}]F(x) =[x^{\frac{n+1}2}]\prod_{i=1}^n [(m-cnt_i)+cnt_ix]\)。
考虑把所有 \(a\) 排序后依次加入 \(cnt\) 中，这样就能算出每个 \(x\) 的 \(ans_x\)。
考虑加入第 \(i\) 行的 \(a\) 后多项式怎么变化，考虑到有 \(O(nm)\) 个数，我们只需 \(O(n)\) 暴力修改多项式即可。
初始时 \(F(x)=m^n\)。
然后 \(cnt_i\to cnt_i+1\)，我们可以先除以再乘上。
先考虑乘上，如果我们乘上 \((a+bx)\)，那么设 \(f_i\) 为 \(i\) 次项系数，则
移项后就能得到除法的式子，如果我们除以 \((a+bx)\)，则
发现乘法要从大往小做，除法要从小往大做。
T4
TAG：期望、DP、高斯消元。
这道题鉴定为没有使用过高斯消元做期望问题，现在会了。
part 1
先判断无解的，对 \(O(n^2)\) 个点建图，从能出去的点跑搜索看哪些点出不去。
part 2
对所有 \((i,v),|v|\le n\) 的点取出来，建边然后跑高斯消元，时间为 \(O(n^6)\)。
part 3
发现如果 \(v>O(\sqrt n)\) 那么前面已经走了 \(O(n)\) 距离，已经走出去了，于是只需要 \(|v|\le O(\sqrt n)\) 的点。
时间复杂度为 \(O((n\sqrt n)^3)=O(n^{4.5})\)。
part 4
再优化点数，考虑把一个点的期望表示成 \(f_i=C+\sum_j a_{i,j} f_j\)，\(C\) 是常数。如果可以那么就能做到 \(O(n^3)\)。
考虑计算从 \((i,0)\) 开始，对于每一个 \(j\) 中间不经过其他 \((x,0)\) 到达 \((j,0)\) 的期望步数、概率，以及直接走出去的期望步数、概率。
这里的期望步数求的是已经乘过概率的，比方说设 \(q_i\) 表示起点走到它的概率，\(c_i\) 表示起点走到它的期望步数（没有乘上 \(q_i\) 的）、我们求的实际上是 \(q_i,C_i(C_i=q_ic_i)\)，因为 \(c_i\) 是不好转移的。
而且我们最后算的也是乘上概率后的期望步数和，即 \(C_i\) 的和。
举例：
\(1\to^{\frac 1 2}\to 2,1\to^{\frac 1 2}\to 3\)。
就有：
\(c_2=c_3=1,q_2=q_3=\frac 1 2,C_2=C_3=\frac 1 2\)。
而就有转移，设 \(p_i\) 为走过出边的概率：
发现对于 \(j<i\)，一定始终有 \(v<0\)，对于 \(j>i\) 一定始终有 \(v>0\)，即转移的图是一个 DAG。
于是便可以 DP，这一部分是 \(O(n^3)\)。
最后就表示成了，设 \(C'\) 表示直接走出去的期望步数，\(f_i=\sum_j q_{i,j} f_j+C'+\sum_j C_{i,j}\)。
移项得 \(-f_i+\sum _j q_{i,j}f_j=-C'-\sum_jC_{i,j}\)，高斯消元 \(O(n^3)\)。
高斯消元的时候直接把无解的行列全变成 0 即可。
总结
- 一定要写对拍、造大数据、在虚拟机上过编译。
- 背包的转移可以尝试刻画成多项式的形式。
- 期望问题可以高斯消元，高斯消元可以尝试优化点数，可以用 DP 先处理出特殊点之间的关系以尝试优化点数。
day #-1
今天做线下模拟赛，同样的，去实际考场断网做比赛。
今天打的非常好，没有挂分，\(100+100+80+30=310\)，获得了前 \(10\) 名。
赛时
今天是顺序开题，先看 T1，想到在上一次的生成树上改，似乎是经典结论：在树上加一条边后会形成一个环，把环上最大的边取走就可以得到新的生成树，我写的是 \(O(n^2\log n+qn)\) 但实际上可以用 \(Prim\) 做到 \(O(n^2+nq)\)，评测时也是 800ms 惊险地卡过了。
发现有的人 \(O(n^2\log n+qn\log n)\) 被卡了、还有人 \(4*5000^2\) MLE 了。
T2 很 sb 但还是惊险地过了。发现数据随机，想到是神奇的做法。
一开始想到类似某次 ABC 的 G 题那样，查询枚举子集、修改再枚举子集，数据随机可以做到 \(O(n+3^m)\)，但没有优化前景。
然后又打表发现后面的询问的答案都非常小，于是考虑每次从小到大枚举修改的位数，然后发现它跑得飞快，大约 500ms。
其实这个做法和 bfs 搜索是本质相同的，复杂度或许可以证明是正确的，大概就是因为本质是 \(m\) 维空间的最小曼哈顿距离，空间中的点一定会越来越密集，所以跟数据随机并没有什么关系。
打完前题大概是 \(9:30\)，比赛是 \(7:30\) 开始的，经过 2h 了，速度中规中矩。
T3 经过我艰辛的打表，终于发现了 \(A\) 性质的充要条件，我也没有证明，但它对了。
获得 80 pts 后其实还剩一个多小时，但我想先去看 T4。
T4 想到网络流，但是并没有这一档分，想着多骗一点，结果打完了发现建模错了，或许根本不能网络流。
只剩半小时了，赶快去写指数级别的暴力，写完后还剩十多分钟了。
后面就是放到虚拟机上过编译了一下。
其实我知道 T3 的正解和 \(A\) 性质仅差一步之遥，但就亏在 T4 把时间浪费在错解上了，或许也是前面的题花的时间过多了。
而且 T3 的表的规律或许只是运气好，其他人都是考虑放到二维平面上考虑然后得到相同的结论。
赛后
T3 就是在 A 性质上扩展一下，还是 DP 考虑最终序列。
考虑除了第一段的每一段的结尾，它不能是一个隐藏的数，否则这一位填 0 以后和它不能区分，而每一段的除了结尾的位置则可以是隐藏的数。
再考虑每一段最大值的限制，它和第一段有关，如果第一段的结尾是一个隐藏的数，那么如果后面没有出现过最大值，那么无法与第一段的结尾为其它数的序列区分。也就是如果第一段的结尾为隐藏的数，那么后面一定要出现最大值。
那么就设 \(f_{i,j,0/1}\) 表示第 \(i\) 位填了 \(j\)，有没有出现过最大值。
当 \(j\) 等于 0 时，那么上一个数为一段的结尾，就要求上一个数不能隐藏。
总结
- 写完代码要注意优化常数，看清数据范围。
- 最小生成树可以使用 \(Prim\) 或 \(Kruskal\)。稠密图 \(Prim\) 优为 \(O(n^2)\)，稀疏图 \(Kruskal\) 优为 \(O(m\log m+\alpha(n))\)。
\(Prim\) 可以用优先队列做到 \(O(m\log m)\)。 - 打表找规律，但不要找无意义的规律，不要在这方面浪费太多时间。
- 尝试画图，把数值放到二维平面上或许能很快得到结论。
- 求经过若干操作得到最终序列有多少个，一般问什么就从什么方向考虑，即直接求最终序列满足的条件，用 DP 等构造最终序列。
- 写网络流一定要建模正确，不然假了写这么长的网络流就太浪费时间了。
