前言
也是找到了韩国原题, 有用!
算法
场上有一个比较显然的想法, 即计算出每种逆序对数量对应多少排列, 从而计算出排名第 \(k\) 小的排列有多少个逆序对
但是即使计算出来了, 我们也不好实现, 分析原因发现, 实际上是因为不好确定应该怎么填数, 时间复杂度仍然趋势
一个显然的想法是, 我们在计算出前 \(i\) 位时, 需要相应的的去找后面的解, 那么思路就比较清晰了
首先, 我们需要计算出每种逆序对数量对应多少排列, 考虑 \(\rm{dp}\) (其实我自己不可能考虑的出来, 没有题解的话思考难度应该到 \(\color{#3498db}{提高+/省选−}\))
这个时候 \(\rm{HYH}\) 大佬正在讲这个题, 疑似可以打表找规律, 不管了
首先, 令 \(f_{i, j}\) 表示 \(i\) 个数的排列, 逆序对个数为 \(j\) 的方案数
我们考虑在 \(i - 1\) 的排列中插入 \(i\) 来递推 \(i\) 的状态, 显然的, 我们把 \(i\) 插入在 \(p \in [0, i - 1]\) 这 \(i\) 个位置时, 逆序对个数都会 \(+ (i - p - 1)\)
那么有转移, 注意判断边界条件
时空复杂度都为 \(\mathcal{O} (n \omega)\) , 其中 \(\omega = 200\) , 注意使用前缀和优化, 后面要用 \(i\) 这一维所以不能滚动数组
完事之后考虑推答案,
首先来说, 我们可以考虑从前往后加入数字, 以此来确定第 \(k\) 个全排列
利用先前推出的 \(f\) 数组, 我们可以知道, 每一位产生的逆序对个数, 具体的, 找到最小的逆序对个数 \(j\) , 使得中间经过的逆序对个数严格小于 \(k\)
然后我们就可以知道, 对于从前往后加入的情况, 每次需要制造的逆序对个数
那么我们就可以每次二分插入的数字, 如果制造的逆序对个数 $ < $ 需要制造的逆序对个数, 那么就合法, 并且在这个的基础上尽可能选择更大的数字, 以此得到答案
代码
借用 \(\rm{ZCY}\) 巨佬的代码, 我也确实不太理解
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int __int128
#define lowbit(x) (x & (-x))
const int N = 1e6 + 5;
int n, fnl[N], s[N];
__int128 sum[300];
__int128 pre[300], k;
vector<vector<__int128>> dp;
__int128 read()
{__int128 x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-')f = -1;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;
}
int col[N];
void update(int pos, int w)
{for (int i = pos; i <= n; i += lowbit(i))s[i] += w;
}
int query(int pos)
{int res = 0;for (int i = pos; i > 0; i -= lowbit(i))res += s[i];return res;
}
void write(int x)
{if (x >= 10)write(x / 10);putchar(x % 10 + '0');
}
signed main()
{n = read(), k = read();dp.resize(n + 2);int w = 0;if (n <= 21)w = 220;else if (n <= 100)w = 100;elsew = 10;for (int i = 0; i <= n; i++)dp[i].resize(w + 5);dp[0][0] = 1;for (int i = 1; i <= n; i++){pre[0] = dp[i - 1][0];for (int j = 1; j <= w; j++)pre[j] = pre[j - 1] + dp[i - 1][j];for (int j = 0; j < min(i, w); j++)dp[i][j] = pre[j];for (int j = i; j <= w; j++)dp[i][j] = pre[j] - pre[j - i];}int l = 0, r = 0, ans = 0;sum[0] = dp[n][0];for (ans = 0; ans <= w; ans++){if (ans > 0)sum[ans] = sum[ans - 1] + dp[n][ans];if (sum[ans] >= k)break;}if (ans)k -= sum[ans - 1]; // 在逆序对数相同的排列中的排名for (int i = 1; i <= n; i++){int tmp = 0;for (int j = ans; j >= 0; j--){tmp += dp[n - i][j];if (tmp >= k){k -= tmp - dp[n - i][j];col[i] = ans - j + 1; // i 位置上逆序对的个数ans = j;break;}}}for (int i = 1; i <= n; i++)update(i, 1);for (int i = 1; i <= n; i++){int l = 1, r = n, ans = 0;while (l <= r){int mid = (l + r) >> 1;if (query(mid) < col[i])ans = mid, l = mid + 1;elser = mid - 1;}ans++;update(ans, -1);write(ans), putchar(' ');}return 0;
}
总结
递推思想的应用
