【数理统计】假设检验

目录

• 假设检验的概念
• 单个总体正态分布的假设检验
  • 正态总体均值 \(\mu\) 的假设检验
  • 正态总体方差 \(\sigma^2\) 的假设检验
• 两个总体正态分布的假设检验（略）
• 例题

假设检验的概念

【定义】\(H_0\) 称为原假设，\(H_1\)称为对立假设，它们的内容相互对立。

使原假设 \(H_0\) 得以接受的检验统计量的取值区域称为检验的接受域；使原假设 \(H_0\) 被拒绝的检验统计量的取值区域称为检验的拒绝域。

【假设检验的两类错误】

真实情况\所作决策	决策：接受\(H_0\)	决策：拒绝\(H_0\)
真实情况：\(H_0\)为真	正确	I类错误
真实情况：\(H_0\)不真	II类错误	正确

奈曼-皮尔逊（Neyman-Pearson）原则：先控制犯 I 类错误的概率 \(\alpha\)（即显著性水平），然后再使犯 II 类错误的概率 \(\beta\) 尽可能地小。

性质：

• \(\alpha+\beta\) 不一定等于 1
• 在样本容量 \(n\) 固定的情况下，\(\alpha\) 小就导致 \(\beta\) 大，\(\beta\) 小就导致 \(\alpha\) 大
• \(\alpha\) 越大，越容易拒绝 \(H_0\)（接受 \(H_1\)）：
  • \(\alpha\) 小时，拒绝 \(H_0\)（接受 \(H_1\)）\(\rightarrow\) \(\alpha\) 大时，拒绝 \(H_0\)（接受 \(H_1\)）
  • \(\alpha\) 大时，接受 \(H_0\)（拒绝 \(H_1\)）\(\rightarrow\) \(\alpha\) 小时，接受 \(H_0\)（拒绝 \(H_1\)）

【假设检验的步骤】

• 根据实际问题的要求，提出原假设 \(H_0\) 和对立假设 \(H_1\)
• 给定显著性水平 \(\alpha\) 和样本容量 \(n\)
• 确定检验统计量以及拒绝域的形式
• 按 \(P \{ 当 H_0 为真拒绝 H_0 \} \leq \alpha\) 求出拒绝域（这种只对 I 类错误的概率加以控制而不考虑 II 类错误的概率的检验称为显著性检验）
• 取样，根据样本观察值作出决策，是接受 \(H_0\) 还是拒绝 \(H_0\)

单个总体正态分布的假设检验

设 \(X_1,X_2,...,X_n\) 是从正态总体 \(N(\mu,\sigma^2)\) 中抽取的简单随机样本。

经证明，正态分布总体参数的假设检验方法都是一定条件下 \(\beta\) 最小的显著性检验，称为最优检验。

正态总体均值 \(\mu\) 的假设检验

（1）\(\sigma^2\) 已知，关于 \(\mu\) 的检验（\(U\) 检验）

已知 \(\sigma^2\)，检验问题为

\[H_0: \mu=\mu_0, \ H_1: \mu \neq \mu_0 \]

原假设成立时，检验统计量为

\[U = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1) \]

拒绝域的形式为

\[|u| = \left| \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \right| > u_{\alpha/2} \]

或

\[-u_{\alpha/2} < \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} < u_{\alpha/2} \]

（2）\(\sigma^2\) 未知，关于 \(\mu\) 的检验（\(t\) 检验）

未知 \(\sigma^2\)，检验问题为

\[H_0: \mu=\mu_0, \ H_1: \mu \neq \mu_0 \]

原假设成立时，考虑 \(S^2\) 为 \(\sigma^2\) 的无偏估计，检验统计量为

\[T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1) \]

拒绝域的形式为

\[|t| = \left| \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} \right| > t_{\alpha/2}(n-1) \]

或

\[-t_{\alpha/2}(n-1) < \frac{\bar{x} - \mu_0}{s/\sqrt{n}} < t_{\alpha/2}(n-1) \]

正态总体方差 \(\sigma^2\) 的假设检验

（1）\(\mu\) 已知，关于 \(\sigma^2\) 的检验（\(\chi^2\) 检验）

已知 \(\mu\)，检验问题为

\[H_0: \sigma^2=\sigma^2_0, \ H_1: \sigma^2 \neq \sigma^2_0 \]

原假设成立时，检验统计量为

\[\chi^2 = \frac{1}{\sigma_0^2} \sum_{i=1}^n (X_i - \mu)^2 \sim \chi^2(n) \]

拒绝域的形式为（注意要对两式的解集取并集）

\[\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n) 或 \chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n) \]

（2）\(\mu\) 未知，关于 \(\sigma^2\) 的检验（\(\chi^2\) 检验）

已知 \(\mu\)，检验问题为

\[H_0: \sigma^2=\sigma^2_0, \ H_1: \sigma^2 \neq \sigma^2_0 \]

原假设成立时，考虑 \(S^2\) 为 \(\sigma^2\) 的无偏估计，检验统计量为

\[\chi^2 = \frac{n-1}{\sigma_0^2} S^2 \sim \chi^2(n-1) \]

拒绝域的形式为（注意要对两式的解集取并集）

\[\chi^2 > \chi^2_{\alpha/2}(n-1) 或 \chi^2 < \chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) \]

两个总体正态分布的假设检验（略）

（略）

例题