异或线性基学习笔记

更好的阅读体验。

前言

本文的线性基指异或线性基。
由于作者太菜了本文的语言不会特别规范。

简介

线性基简称基，它是一个数的集合，并且每个序列都拥有至少一个线性基。
线性基有三个性质：

1. 线性基中的几个数异或后不能得到 \(0\)。
2. 线性基中的数在异或后能得到原序列中的所有数。
3. 线性基在保证前两个性质时，会使得基内的个数最少。

基本操作

我们用数组 \(p\) 表示 \(\{a_{i - 1}\}\) 的线性基。
\(p_i\) 的二进制最高位是第 \(i + 1\) 位。

插入

如果 \(x\) 的第 \(i\) 位是 \(1\)，就必须要选 \(p_i\)，否则不选。

必须选时，如果没有 \(p_i\)，那么我们就让 \(p_i \gets x\)，并结束。
否则 \(x\gets x\oplus p_i\)。

void insert(int x){for(int i = 60; ~i; i--)if(x & (1LL << i))if(!p[i])return void(p[i] = x);else x ^= p[i];
}

最大值

我们的二进制最高位是依次递减的。
\(ans\) 表示目前的最大值。

那么如果 \(ans\) 的第 \(i\) 位是 \(0\)，那么选 \(p_i\) 一定不劣，因为 \(2^k > \sum_{i=0}^{k-1}2^i\)。

int xormax(){int ans = 0;for(int i = 60; ~i; i--)ans = max(ans, ans ^ p[i]);return ans;
}

第 k 小

如果我们选择高位后不会对低位影响，那么我们就可以像 BST 求第 \(k\) 小一样了。
所以我们要尽可能把 \(p_i\) 除了第 \(i\) 的其他位去掉。
形如：
10001000
01100000
00010001
00000100
虽然不能全部去掉，但是我们的目的已经达到了。

int kth(int k){if(f)return 0;for(int i = 0; i <= 60; i++)for(int j = i - 1; ~j; j--)if(p[i] & (1LL << j)) p[i] ^= p[j-1];int ans = 0;for(int i = 0; i <= 60; i++)if(p[i]){if(k & 1)ans ^= p[i];k >>= 1;}if(k)return -1; return ans;
}

复杂度

时空复杂度（单次）：\(\log n\)。