导数与微分

导数与微分

在高等数学的领域中，导数与微分是至关重要的概念

导数概念

1. 定义
   • 导数的定义基于极限的概念，函数(y = f(x))在点\(x_0\)处的导数\(f'(x_0)\)表示为：
     \[f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \]

   • 这个定义有三个要点：上下一致、定点出现和双侧极极限相等
2. 本质
   • 导数的本质是变化率，它反映了函数在某一点处的变化快慢程度。
   • 几何意义:导数表示函数曲线在某一点处的切线斜率。
   • 函数在某一点可导的充要条件是左导数等于右导数，并且函数在该点必须连续。

导数计算

1. 基本求导公式
   基本求导公式是导数计算的基础，包括四则运算法则

   三角函数

2. 反函数求导
   反函数求导公式为(\(\frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}}\))，即反函数的导数是原函数导数的倒数。

3. 复合函数求导法则
   复合函数求导法则包括链式法则，对于\(y = g(u(x))\)，其导数为\(y'=g'(u(x))\cdot u'(x)\)。

4. 隐函数求导
   对于隐函数(\(F(x,y)=0\))，将(\(y\))看作(\(y(x)\))，通过对(\(x\))求导并解出(\(y'\))来求导。

5. 参数方程求导
   参数方程求导有两种方法：
   方法一：用定义，(\(\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}\))。
   方法二：用公式（书写规范），如\((x^n)' = nx^{n - 1}\)等常用公式。

6. 分段函数求导
   分段函数求导包括：
   各分段区间用公式求导。
   分段点处：

   1. 用定义。
   2. 用公式

常用公式

1. \((a^x)' = a^x\ln a\)；\((e^x)' = e^x\)
2. \(y=\sin x\)，则\(y^\prime=\cos x\)
3. \(y = \cos x\)，则\(y^\prime = -\sin x\)
4. \(y=\tan x\)，则\(y^\prime=\frac{1}{\cos^{2}x}=\sec^{2}x\)。
5. \(y=\log_{a}x\),\((a>0,a\neq1,x>0\)，则\(y^\prime=\frac{1}{x\ln a}\)
6. \((x^n)' = nx^{n - 1}\)，其中\(n \in R，n \neq 0\)
7. \((\arcsin x)^\prime=\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，\(x\in(-1,1)\)
8. \(\arccos x)^\prime=-\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}\)，$x\in(-1,1)$
9. \((\arctan x)^\prime=\frac{1}{1 + x^{2}}\)，\(x\in R\)

高阶导数

加法法则

高阶导数的加法法则说明了对于两个可导函数 ( f(x) ) 和 ( g(x) )，它们的和的高阶导数可以通过各自的高阶导数之和来表示。具体来说，对于任意的正整数 ( n )，有：

\[(f + g)^{(n)}(x) = f^{(n)}(x) + g^{(n)}(x) \]

数学归纳法可证明

乘积法则

对于两个函数 ( u(x) ) 和 ( v(x) )，其高阶导数可以用以下公式(莱布尼茨公式)计算：

\[(uv)^{(n)}(x) = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(k)}(x) v^{(n-k)}(x) \]

其中 ( \(\binom{n}{k}\) ) 是组合数，表示从 $ n $ 中选择 $ k $ 的方式

微分

1. 定义
   在\(x_0\)处，\(y = f(x)\)的微分\(dy\)定义为\(dy = A\Delta x+o(\Delta x)\)。
   线性主部：函数增量中占主要部分的线性部分
   \(A\Delta x\)即为线性主部

2. 计算
   计算微分时，\(dy = y'dx\)。