如何用 Lyndon 薄纱 SA

推销 Lyndon 理论学习笔记（没写完）

P5108 仰望半月的夜空

给一个字符串 \(s\)，对 \(i\in[1,|s|]\) 问长度为 \(i\) 的最小子串的第一次出现。

先给复杂度：问最后一次出现可以 \(O(|s|)\)，问第一次出现可以结合哈希二分做到 \(O(|s|\log|s|)\)。

字典序问题，可以在 Lyndon 分解上考虑，设分解得到 \(s=w_1+\dots+w_k\)。

考虑长度为 \(i\) 的最小子串在哪里起头。首先根据 Lyndon 串的定义，在某个 \(w_p\) 中间起头肯定不优，

而且分解出的 Lyndon 串字典序是单调不增的，所以应该在尽量靠后的 \(w_p\) 起头，

所以可以得出结论：应该在 \(|w_p+w_{p+1}+\dots+w_k|\ge i\) 的最后一个 \(w_p\) 处起头，

但这个子串不一定只在这里出现，考虑它还在哪里出现过。

因为分解出的 Lyndon 串字典序是单调不增的，所以这个子串只在 \(w_p\) 及其前的若干个 Lyndon 串中出现。

二分这个子串最早在哪里出现即可。

#include <cstdio>
#include <cstring>
char _[300050];
int n, o, S, l[300050], a[300050];
unsigned long long p[300050], h[300050];
int Q(int l, int r) { return h[r] - h[l - 1] * p[r - l + 1]; }
int main()
{scanf("%d%d", &S, &n);if (S == 26){scanf("%s", _ + 1);for (int i = 1; i <= n; ++i)a[i] = _[i];}else{for (int i = 1; i <= n; ++i)scanf("%d", a + i);}for (int i = p[0] = 1; i <= n; ++i)p[i] = p[i - 1] * 10000019, h[i] = h[i - 1] * 10000019 + a[i];int i = 1, j, k;while (i <= n){j = i + 1, k = i;while (j <= n){if (a[j] == a[k])++j, ++k;else if (a[j] > a[k])++j, k = i;elsebreak;}while (i <= k)l[++o] = i, i += j - k;}for (int i = 1, j = o; i <= n; ++i){if (n - l[j] + 1 < i)--j;int L = 1, R = j;while (L <= R){int M = L + R >> 1;if (Q(l[M], l[M] + i - 1) == Q(l[j], l[j] + i - 1))R = M - 1;elseL = M + 1;}printf("%d ", l[L]);}return 0;
}