学校月考题解 #2-编程知识

学校月考题解 #2

news/2025/1/9 19:39:32/文章来源:https://www.cnblogs.com/P2441M/p/18662803

一些闲话

期末考，依旧是 AK。

题解

T1

有 \(n\) 个位置。起初每个位置都被封锁。你可以进行以下两种类型的操作：

选择一个位置 \(i\)，其中 \(1\leq i\leq n\) ，然后解除该位置的封锁；

选择一对位置 \(l\) 和 \(r\)，其中 \(1\leq l\leq r\leq n\)，满足位置 \(l\) 和 \(r\) 都已解除封锁，且从位置 \(l\) 到位置 \(r\) 的已解除封锁的位置数至少为 \(\lceil\frac{r - l + 1}{2}\rceil\)，然后将 \(l\) 到 \(r\) 之间的所有位置都解除封锁。

要求最终所有位置都被解锁。最小化操作 \(1\) 的次数。
多测。对于所有测试点，\(1\leq t\leq 10^4\)，\(1\leq n\leq 10^5\)。

贪心简单题。考虑一个极长的已被解锁的区间 \([1,r]\)，那么显然可以解锁 \(2(r+1)\) 处的位置，然后选取 \((1,2(r+1))\) 进行操作 \(2\)。暴力模拟即可。时间复杂度 \(O(t\log{n})\)。

T2

给定一个数字串 \(s\)，你可以进行若干次这样的操作：选取其中一个数字（该数字不为 \(0\) 且不在最左边），将其减小 \(1\)，然后与前面的数字交换。试最大化最终的数字串的字典序。
对于所有测试点，\(1\leq|s|\leq 2\times 10^5\)。

还是贪心简单题。要最大化字典序，就肯定要从高到低确定并最大化每一位，直接贪心地选取交换到前面最大的那一位即可。注意到对于每一位，决策集合最多包含从当前位开始的 \(9\) 位，暴力找最大值即可。时间复杂度 \(O(\Sigma n)\)。

扩展：扩大字符集大小。

那么考虑维护原串中每个位置交换到前面得到的数字 \(v_i\)。那么每一次查询全局 \(\max\) 即可。而选定一个最大的位置 \(i\) 后，显然它后面所有位置的交换次数都会减 \(1\)，等价于将 \(v[i+1,n]\) 区间加 \(1\)，然后再令 \(v_i\leftarrow -\infty\) 即可。于是直接上线段树，就可以做到与字符集大小无关的 \(O(n\log{n})\) 的时间复杂度。

T3

定义一个长度为 \(n\) 的排列 \(p\) 的价值其中所有区间的最小值之和，即

\[\sum_{l=1}^n\sum_{r=l}^n\min_{k=l}^r\{p_k\} \]
多次询问 \(n,k\)，求出在所有令价值最大化的长度为 \(n\) 的排列中，字典序第 \(k\) 小的排列。
对于所有测试点，\(1\leq q\leq 10^4\)，\(1\leq n,\sum{n}\leq 2\times 10^5\)，\(1\leq k\leq 10^{12}\)。

先思考令价值最大化的排列具有怎样的性质。对这个式子显然考虑拆贡献，即计算每个 \(p_i\) 延伸出去的极长的以它为最小值的区间。自然地从小到大考虑每个数，对于 \(1\)，这个区间长度必然为 \(n\)；对于 \(2\)，这个区间长度至多达到 \(n-1\)，且此时显然要求 \(1\) 在排列的两端……以此类推。于是这个性质就很显然了：从小到大考虑每个数，将它从最左端从左到右地加到排列中，或将它从最右端从右到左地加到排列中。这样构造出来的排列必然能最大化价值。

然后考虑怎么求字典序第 \(k\) 小的排列。这个肯定是和方案数挂钩的。依据刚刚的构造过程，显然有长度为 \(n\) 的令价值最大化的排列共有 \(2^{n-1}\) 种。于是依然从小到大考虑每个数字，根据 \(k\) 的大小判断是往左边还是右边加即可。时间复杂度 \(O(\sum{n})\)。