Graph Subset Problem
题目链接。
Problem
\(T\) 组数据。
给你一个有 \(n\) 个顶点和 \(m\) 条边的无向图，和一个整数 \(k\)。
请你找到一个大小为 \(k\) 的团（称一个 \(k\) 个点的集合为团，当且仅当点集大小为 \(k\)，并且该子集的每两个顶点之间存在一条边）或一个非空的顶点子集，使该子集的每个顶点在该子集中至少有 \(k\) 个邻居。
输出方案。
对于每个测试用例：
- 如果找到一个合法点集，在第 \(1\) 行输出
1和子集的大小。在第 \(2\) 行，以任意顺序输出子集的顶点。 - 如果找到一个大小为 \(k\) 的团，那么在第 \(1\) 行输出
2。第 \(2\) 行中，以任意顺序输出该团的顶点。 - 如果没有所需的子集和集团，请输出
-1。 - 如果存在多个可能的答案，输出其中任意一个。
数据范围：\(1 \le n, m, k \le 10^5\)，\(1 \le \sum n \le 2 \times 10^5\)。
Sol
首先如果 \(k > \sqrt m\)，那么一定无解。然后先把所有度数小于 \(k - 1\) 的点删掉（要更新度数）。发现如果满足条件的团一定可以有一个点在当前的图中度数为 \(k - 1\)，不然我可以找到一个点集。对于所有当前度数为 \(k - 1\) 的点，暴力枚举所有连出去的点，判断两两之间是否有连边，由于这样的点不超过 \(\lfloor \frac mk \rfloor\) 个，使用 umap 可以使判定变为 \(\mathcal{O}(1)\)。这一部分的复杂度为 \(\mathcal{O}(mk)\)。然后删掉所有度数小于 \(k\) 的点。如果这个时候，点集被变成了空集，此时就是无解的。如果还有剩下的点，则这些点构成一个合法的点集。然后删点的过程显然可以用一个类似于拓扑排序的东西解决。时间复杂度 \(\mathcal{O}(m\sqrt m)\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
int n, m, K;
int deg[100005], vis[100005], vse[100005];
vector<pii> e[100005];
queue<int> que;
unordered_map<int, int> mp[100005];
int tp, stk[100005];
int Work(int x) {if ((int) mp[x].size() == K - 1) {tp = 0;for (auto i : mp[x])stk[++tp] = i.first;int mark = 1;for (int i = 1; i <= tp && mark; i++)for (int j = i + 1; j <= tp && mark; j++)if (!mp[stk[i]].count(stk[j]))mark = 0;if (mark) {printf("2\n%d ", x);for (int i = 1; i <= tp; i++)printf("%d%c", stk[i], " \n"[i == tp]);return 1;}}for (auto i : mp[x]) {deg[i.first]--;if (deg[i.first] == K - 1)que.emplace(i.first);mp[i.first].erase(x);}mp[x].clear(), deg[x] = 0;return 0;
}
int ans[200005];
void Solve() {for (int i = 1; i <= n; i++)deg[i] = vis[i] = 0, e[i].clear(), mp[i].clear();scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);for (int i = 1, u, v; i <= m; i++) {scanf("%d%d", &u, &v);e[u].emplace_back(v, i), e[v].emplace_back(u, i);deg[u]++, deg[v]++;}if (K > ceil(sqrt(2 * m)))return puts("-1"), void();for (int i = 1; i <= n; i++)if (deg[i] < K - 1)que.emplace(i), vis[i] = 1;while (!que.empty()) {int u = que.front();que.pop();for (auto i : e[u]) {int v = i.first, id = i.second;if (vse[id])continue;vse[id] = 1;deg[v]--;if (deg[v] < K - 1 && !vis[v])que.emplace(v), vis[v] = 1;}}for (int i = 1; i <= n; i++)for (auto j : e[i])if (!vse[j.second])mp[i][j.first] = 1;for (int i = 1; i <= m; i++)vse[i] = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (deg[i] == K - 1)que.emplace(i);int mark = 0;while (!que.empty()) {int u = que.front();que.pop();if (!mark)mark = Work(u);}if (mark)return;int aCnt = 0;for (int i = 1; i <= n; i++)if (deg[i] >= K)ans[++aCnt] = i;if (!aCnt)return puts("-1"), void();printf("1 %d\n", aCnt);for (int i = 1; i <= aCnt; i++)printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == aCnt]);
}
int main() {int T;scanf("%d", &T);while (T--)Solve();return 0;
}
