[题目记录]P9999 [Ynoi2000] tmostnrq

news/2025/1/12 16:59:26/文章来源:https://www.cnblogs.com/youlv/p/18667075

P9999 [Ynoi2000] tmostnrq

题意

给定 $n$ 个顶点的树，顶点编号为 $1,\dots,n$，给定长度 $n_0$ 的序列 $a_1,\dots,a_{n_0}$，共 $m$ 次查询，每次查询给定 $l,r,x$，问树的顶点 $x$，依次向 $a_l,\dots,a_r$ 移动一步，到达的顶点。

若 $x=y$，则从顶点 $x$ 向 $y$ 移动一步到达 $x$，否则到达与 $x$ 在树上相邻且距离 $y$ 最近的位置。

$ n,m\le 1e6 $ , 时限 $12 \mathrm s$ .

题解

发现移动过程不能简单地维护 , 考虑把一次移动看成一个函数 , 这就变成了一个函数复合问题 , 考虑离线用 lxl 讲的插入-标记-回收解决 .

考虑如何处理移动的过程 , 发现向 $x$ 移动一位相当于把从 $x$ 到根的路径全沿这条路径下移 , 其他点都上移 , 大概如图 :

处理链的问题 , 就使用树链剖分 , 每次把向下跳的这条链单独处理 , 其余的向上跳打全局标记 .

对于每一条链 , 用以深度为关键字的 FHQ treap 维护 , 每次插入一个点 , 就直接把它插入到对应的链上 .

问题的关键是每一次移动的维护 :

每次处理链时 , 设向这条链上的 $u$ 移动 , 相当于把平衡树分为 $<dep_u$ 和 $>dep_u$ 两部分 , 左边深度 $+1$ , 右边深度 $-1$ , 再合并起来 . 这样操作的总复杂度是 $O(n\log^2 n)$ .

但是发现跳的过程中会出现一个点跳到了不同链上的情况 :

第一种 : 设向这条链上的 $u$ 移动 , 但 $u$ 不是最初的起点 $a_i$ , 这时 $u$ 要通过向 $a_i$ 方向移动的虚边跳到后一个链上 .

因此如果 $u$ 处有点 , 就把直接它插入到上一条链中 .
第二种 : 如图中蓝边 , 打全局上移标记时 , 原来就在链顶的点会通过虚边上移 .

因此每次操作后需要找到所有出现这种问题的链 , 把它的链顶点删掉插入到它的父亲所在链中 .

处理第二种的方法看起来十分暴力 , 但是稍加分析 , 每个点只有在通过虚边切换时会有额外复杂度 , 如果不考虑下移 , 每个点的切换次数是 $O(\log n) $ 次的 .

而考虑下移 , 每次操作也最多把 $ O(\log n) $ 个点通过虚边下移 , 相当于每次操作使后面多了 $O(\log n)$ 次上移 . 也就是说 , 视每个点还能向上到根的次数为它的势能 , 总势能是 $O(n\log n+m\log n) $ 的 , 每消除一势能的复杂度是 $O(\log n) $ 的 , 所以这部分复杂度也是 $O(n\log^2 n)$ , 最终复杂度就是 $O(n\log ^2 n) $ .

为了保证均摊部分的复杂度以及打整体标签的正确性 , 操作的实现都要足够精细 :

如果两个点的位置重合 , 需要用并查集把他们并在一起 , 始终保证同一位置最多只有一个点 .

否则 , 就无法保证跨虚边下移时 , 每一条虚边只有一个点下移 , 也就无法保证复杂度 .
每次整体打上移标签 , 相当于让深度整体 $-1$ , 但是我们手动调整的链部分是不能受它影响的 , 所以除了整体标记 $tottag$ 要对每条链单独维护一个标记 $tag_i$ . 设平衡树里记录的深度是 $val$ , 它的深度真实值就应该是 $val+tottag+tag_i$ .

这样每次打标签的操作就是 $tottag--$ , 然后所有从 $x$ 到 $1$ 经过的链 $tag_i++$ .

此外 , 为了方便操作 , 可以在对平衡树操作前更新 $val\gets val+tottag+tag_i , tag_i\gets tottag$ .
每次处理上移操作不能遍历所有链判断链顶是否有点 , 正确的做法是维护链中深度最小的点到顶的距离 . 设平衡树上深度最小值为 $mn$ , 根据我们刚才的定义 , 它到顶的距离是 $mn+tottag+tag_i-dep_{top}$ , 需要操作的链 , 满足 :

\[mn+tottag+tag_i<dep_{top} \\ mn+tag_i-dep_{top}<-tottag \]
可以用 set 维护所有链的 $mn+tag_i-dep_{top}$ , 每次对平衡树操作时在 set 中更新对应的值 . 处理上移操作时直接取出 $<-tottag$ 的链进行操作即可 .
注意打标签的时机 , 操作时相当于先手动操作了所有在路径上的链 , 然后对它们 $tag_i++$ 用来抵消整体 $tottag$ , 不要一边操作一边动 $tag$ , 否则可能导致从后面的链下移过来的点位置出错 .
查询时可以直接记录对应的平衡树节点编号 ( 注意要取并查集的根 ) , 注意要把这个节点在平衡树上的祖先链都 pushdown , 还要考虑链上的 $tag$ , 这样就可以取出它的深度 , 结合所在的重链就可以取出具体位置 .

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>
#define file(x) freopen(#x ".in","r",stdin),freopen(#x ".out","w",stdout)
#define ll long long
using namespace std;constexpr int N=1e6+5;
constexpr int INF=1e7;struct node{int ls,rs,rnd,fa,val,tag;
}a[N];
int at;inline int add(int dep){a[++at]={0,0,rand(),0,dep,0};return at;
}inline void pushdown(int x){a[a[x].ls].val+=a[x].tag;a[a[x].ls].tag+=a[x].tag;a[a[x].rs].val+=a[x].tag;a[a[x].rs].tag+=a[x].tag;a[x].tag=0;
}inline void pushup(int x){if(a[x].ls) a[a[x].ls].fa=x;if(a[x].rs) a[a[x].rs].fa=x;a[x].fa=0;
}void split(int u,int k,int &x,int &y){if(!u) {x=y=0;return;}pushdown(u);if(a[u].val<=k){x=u;split(a[u].rs,k,a[x].rs,y);pushup(x);}else{y=u;split(a[u].ls,k,x,a[y].ls);pushup(y);}
}int merge(int x,int y){if(x==0||y==0) return x+y;pushdown(x);pushdown(y);if(a[x].rnd<=a[y].rnd){a[x].rs=merge(a[x].rs,y);pushup(x);return x;}else{a[y].ls=merge(x,a[y].ls);pushup(y);return y;}return 0;
}int get(int x,int k){if(!x) return 0;pushdown(x);if(a[x].val>k) return get(a[x].ls,k);if(a[x].val<k) return get(a[x].rs,k);return x;
}int getmin(int x){if(!x) return INF;pushdown(x);if(a[x].ls) return getmin(a[x].ls);return a[x].val;
}int fd[N];
int find(int x){if(x==fd[x]) return x;fd[x]=find(fd[x]);return fd[x];
}int n,tn,m,to[N];vector<int> e[N];vector<pair<int,int> > inp[N];
vector<int> oup[N];
int nump[N],res[N];int fa[N],dep[N],son[N],sz[N],top[N],dfn[N],rnk[N],L[N],R[N],rt[N],tot,pos[N];int ft[N][24];void dfs1(int u){ft[u][0]=fa[u];for(int i=1;i<=20;i++)ft[u][i]=ft[ft[u][i-1]][i-1];sz[u]=1;for(auto v:e[u]){if(v==fa[u]) continue;fa[v]=u;dep[v]=dep[u]+1;dfs1(v);sz[u]+=sz[v];if(sz[v]>sz[son[u]]) son[u]=v;}
}int tottag,tag[N],mn[N];
set<pair<int,int> > st;void dfs2(int u,int t){dfn[u]=++tot;rnk[tot]=u;top[u]=t;if(u==t){L[t]=u;mn[t]=INF;tag[t]=0;st.insert({INF-dep[t],t});}R[t]=u;if(son[u])dfs2(son[u],t);for(auto v:e[u])if(v!=fa[u]&&v!=son[u])dfs2(v,v);
}inline void pushtag(int t){int tg=tottag+tag[t];a[rt[t]].val+=tg,a[rt[t]].tag+=tg;mn[t]+=tg;tag[t]=-tottag;
}inline void insert(int x,int t){if(!x) return;int d=a[x].val;pushtag(t);int link=get(rt[t],d);if(link) fd[x]=link;else{st.erase({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});int u,v;split(rt[t],d,u,v);rt[t]=merge(u,merge(x,v));pos[rt[t]]=t;mn[t]=getmin(rt[t]);st.insert({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});}
}inline void solve(int x){int u,v,w,y,z,tmp,t;pushtag(top[x]);split(rt[top[x]],dep[x]-2,u,tmp);split(tmp,dep[x]+1,v,z);tmp=v;split(tmp,dep[x]-1,v,y);tmp=y;split(tmp,dep[x],w,y);a[v].val++;a[v].tag++;a[y].val--;a[y].tag--;if(v&&w) fd[v]=w,v=0;if(y&&w) fd[y]=w,y=0;if(v&&y) fd[v]=y,v=0;a[u].val++;a[u].tag++;a[z].val--;a[z].tag--;rt[top[x]]=merge(u,merge(v+w+y,z));pos[rt[top[x]]]=top[x];int last=x;while(top[x]!=1){last=x;x=fa[top[x]];pushtag(top[x]);split(rt[top[x]],dep[x]-2,u,tmp);split(tmp,dep[x]+1,v,z);tmp=v;split(tmp,dep[x]-1,v,y);tmp=y;split(tmp,dep[x],w,y);t=top[last];st.erase({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});if(w){a[w].val++,a[w].tag++;int d=a[w].val;int link=get(rt[t],d);if(link) fd[w]=link;else rt[t]=merge(w,rt[t]);pos[rt[t]]=t;}tag[t]++;mn[t]=getmin(rt[t]);st.insert({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});a[v].val++;a[v].tag++;a[y].val--;a[y].tag--;if(v&&y) fd[v]=y,v=0;a[u].val++;a[u].tag++;a[z].val--;a[z].tag--;rt[top[x]]=merge(u,merge(v+y,z));pos[rt[top[x]]]=top[x];}t=top[x];st.erase({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});tag[t]++;mn[t]=getmin(rt[t]);st.insert({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});tottag--;vector<int> d;d.clear();for(auto x:st){if(x.first>=-tottag) break;d.push_back(x.second);}for(auto t:d){pushtag(t);st.erase({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});split(rt[t],dep[t]-1,u,v);rt[t]=v;pos[v]=t;mn[t]=getmin(rt[t]);st.insert({mn[t]+tag[t]-dep[t],t});insert(u,top[fa[t]]);}
}inline int query_pos(int u,int d){for(int i=20;i>=0;i--)if(dep[ft[u][i]]>=d) u=ft[u][i];return u;
}int q[N],tp;inline int query(int x){tp=0;q[++tp]=x;while(a[x].fa) q[++tp]=a[x].fa,x=a[x].fa;int st=R[pos[q[tp]]];pushtag(pos[q[tp]]);while(tp) pushdown(q[tp--]);return query_pos(st,a[q[1]].val);
}namespace debug{int s;int tres[N],fa[N];void dfs(int u){for(auto v:e[u]){if(v==fa[u]) continue;fa[v]=u; dfs(v);}}int solve(int l,int r,int x){for(int i=l;i<=r;i++){fa[to[i]]=to[i];dfs(to[i]);x=fa[x];}return x;}void init(){cin>>s;srand(s);n=15;tn=10;m=10;cout<<n<<' '<<tn<<' '<<m<<'\n';for(int i=2;i<=n;i++){int tmpf=rand()%(i-1)+1;cout<<tmpf<<' ';e[tmpf].push_back(i);e[i].push_back(tmpf);}cout<<'\n';for(int i=1;i<=tn;i++){to[i]=rand()%n+1;cout<<to[i]<<' ';}cout<<'\n';for(int i=1;i<=m;i++) {int l=rand()%tn+1,r=rand()%tn+1,x=rand()%n+1;if(l>r) swap(l,r);cout<<l<<' '<<r<<' '<<x<<'\n';inp[l].push_back({i,x});oup[r].push_back(i);tres[i]=solve(l,r,x);}}void check(){for(int i=1;i<=m;i++){if(res[i]!=tres[i]){cout<<"WA! pos:"<<i<<" answer="<<tres[i];return;}}cout<<"AC!";}
}void input(){cin>>n>>tn>>m;for(int i=2;i<=n;i++) {int u,v;cin>>u;v=i;e[u].push_back(v);e[v].push_back(u);}for(int i=1;i<=tn;i++) cin>>to[i];for(int i=1;i<=m;i++){int l,r,x;cin>>l>>r>>x;inp[l].push_back({i,x});oup[r].push_back(i);}
}int main(){ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);//debug::init();input();dep[1]=1;dfs1(1);dfs2(1,1);for(int i=1;i<=m;i++) fd[i]=i;for(int i=1;i<=tn;i++){for(auto [id,u]:inp[i]){int now=add(dep[u]);insert(now,top[u]);nump[id]=now;}solve(to[i]);for(auto id:oup[i]){res[id]=query(find(nump[id]));}}for(int i=1;i<=m;i++) cout<<res[i]<<'\n';//debug::check();}