第三讲，旋转向量和欧拉角-编程知识

第三讲，旋转向量和欧拉角

1.旋转向量

旋转矩阵来描述旋转，有了变换矩阵描述一个六自由度的三维刚体运动，是不是已经足够了呢？但是，矩阵表示方式至少有以下几个缺点：

SO(3) 的旋转矩阵有九个量，但一次旋转只有三个自由度。因此这种表达方式是冗余的。同理，变换矩阵用十六个量表达了六自由度的变换。那么，是否有更紧凑的表示呢？
旋转矩阵自身带有约束：它必须是个正交矩阵，且行列式为 1。变换矩阵也是如此。当我们想要估计或优化一个旋转矩阵/变换矩阵时，这些约束会使得求解变得更困难。

任意旋转都可以用一个旋转轴和一个旋转角来刻画。于是，我们可以使用一个向量，其方向与旋转轴一致，而长度等于旋转角。

这种向量，称为旋转向量（或轴角，AxisAngle）。这种表示法只需一个三维向量即可描述旋转。

同样，对于变换矩阵，我们使用一个旋转向量和一个平移向量即可表达一次变换。这时的维数正好是六维。

1.1 旋转向量和旋转矩阵之间的转换

假设有一个旋转轴为 n，角度为 θ 的旋转，显然，它对应的旋转向量为 θn。

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w = θn 称为角轴或者旋转向量

角轴与旋转矩阵的不同
- 旋转矩阵：九个量，有正交性约束和行列式值约束
- 角轴：三个量，没有约束
注意：它们只是表达方式不同，但表达的东西可以是同一个
角轴也就是第四章要介绍的李群代数

旋转向量到旋转矩阵

旋转向量到旋转矩阵的过程由罗德里格斯公式表明，由于推导过程比较复杂，我们不作描述，只给出转换的结果：

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符号 ∧ 是向量到反对称的转换符。反之，我们也可以计算从一个旋转矩阵到旋转向量的转换。对于转角 θ，有：

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转轴 n 是矩阵 R 特征值 1 对应的特征向量。求解此方程，再归一化，就得到了旋转轴。读者也可以从“旋转轴经过旋转之后不变”的几何角度看待这个方程。

2.欧拉角

无论是旋转矩阵、旋转向量，虽然它们能描述旋转，但对我们人类是非常不直观的。当我们看到一个旋转矩阵或旋转向量时，很难想象出来这个旋转究竟是什么样的。当它们变换时，我们也不知道物体是向哪个方向在转动。而欧拉角则提供了一种非常直观的方式来描述旋转——它使用了三个分离的转角，把一个旋转分解成三次绕不同轴的旋转。

欧拉角
- 将旋转分解为三次不同轴上的转动，以便理解
- 例如：按照Z—Y—X顺序转动
- 轴可以是定轴或动轴，顺序亦可不同，因此存在许多种定义方式不同的欧拉角
- 常见的有yaw-pitch-roll（偏航-俯仰-横滚）

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2.1 欧拉角的缺点：万向锁问题

欧拉角的一个重大缺点是会碰到著名的万向锁问题：在俯仰角为 ±90◦ 时，第一次旋转与第三次旋转将使用同一个轴，使得系统丢失了一个自由度（由三次旋转变成了两次旋转）。

这被称为奇异性问题，在其他形式的欧拉角中也同样存在。理论上可以证明，只要我们想用三个实数来表达三维旋转时，都会不可避免地碰到奇异性问题。由于这种原理，欧拉角不适于插值和迭代，往往只用于人机交互中。我们也很少在SLAM程序中直接使用欧拉角表达姿态，同样不会在滤波或优化中使用欧拉角表达旋转（因为它具有奇异性）。不过，若你想验证自己算法是否有错时，转换成欧拉角能够快速辨认结果的正确与否。

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3.四元数

旋转矩阵用九个量描述三自由度的旋转，具有冗余性；

欧拉角和旋转向量是紧凑的，但具有奇异性。

事实上，我们找不到不带奇异性的三维向量描述方式。这有点类似于，当我们想用两个坐标表示地球表面时（如经度和纬度），必定存在奇异性（纬度为 ±90◦ 时，经度无意义）。

三维旋转是一个三维流形，想要无奇异性地表达它，用三个量是不够的。回忆我们以前学习过的复数。我们用复数集 C 表示复平面上的向量，而复数的乘法则能表示复平面上的旋转：例如，乘上复数 i 相当于逆时针把一个复向量旋转 90 度。类似的，在表达三维空间旋转时，也有一种类似于复数的代数：四元数（Quaternion）。四元数是 Hamilton 找到的一种扩展的复数. 它既是紧凑的，也没有奇异性。如果说缺点的话，四元数不够直观，其运算稍为复杂一些。