P1486 [NOI2004] 郁闷的出纳员

P1486 [NOI2004] 郁闷的出纳员

题目翻译：

维护一个可重数集，共有 \(n\) 次操作，和一个最小限制 \(min\)，共有四种操作：

• \(I\) \(k\) 给集合添加 \(k\) 若 \(k<min\) 则直接删除（不算入删除个数）
• \(A\) \(k\) 将集合中的所有元素加上 \(k\)
• \(S\) \(k\) 将所有元素减少 \(k\) 并将所有值小于 \(min\) 的删除
• \(F\) \(k\) 输出集合中元素从大到小的第 \(k\) 名的值，若 \(k\) 大于当前元素的值，则输出 \(-1\)

最后还要输出总共删除了多少元素

思路：

对于求第 \(k\) 大的数和随时可以插入等操作，很容易想到用平衡树来维护。由于可能会有重复的数，我们可以给每个节点都维护一个 \(cnt\) 用来储存该节点数的个数。

• 对于插入操作就与普通的插入没有区别，只要特判一下，看是否有一样的，有就直接给该节点加一。并且要特判一下是否小于 \(min\)，若小于则直接跳过。

void ins(int key){if(key<mi)return;int now=rt,f=0;while(now && tr[now].key!=key){f=now;now=tr[now].s[key>tr[now].key];}if(now){tr[now].cnt++;splay(now); return;}now=newnode(key);fa(now)=f;if(f)tr[f].s[key>tr[f].key]=now;splay(now);
}

• 对于给所有加上 \(k\)我们可以暴力的给所有节点都加上 \(k\)，不管是否已经删除或者有没有用，应为删除的节点已经没有与树有连边，所以无法访问，自然没有影响，时间复杂度为 \(O(n)\)

for(int i=1;i<=idx;i++){tr[i].key+=k;
}

• 对于对所有节点减去 \(k\),我们也可以全部减去，但为了删点，我们可以先找到最接近且 \(\geq k+min\) 的点，将他给 \(splay\) 到根节点，这样所有减去 \(k\) 会小于 \(min\) 的节点都会在根节点的左子树，这样只需要给 \(ans\) 加上子树大小，然后断开连接即可。最后给所有节点减去 \(k\).

void find(int key){int now=rt;while(key!=tr[now].key && tr[now].s[key>tr[now].key]){now=tr[now].s[key>tr[now].key];}splay(now);
}
int nxt(int key){find(key);if(tr[rt].key>=key)return rt;int now=rc(rt);while(lc(now))now=lc(now);return now;
}
void del2(int x){int now=nxt(x+mi);splay(now);ans+=tr[lc(now)].siz;lc(now)=0;pushup(now);for(int i=1;i<=idx;i++){tr[i].key-=x;}
}

• 查找第 \(k\) 大的数。与普通查找没有什么区别但要注意的是，由于为了防止树中没有符合要求的节点，所以会先加入一个极大值，所以找的时候要找第 \(k+1\) 大的数。其次，由于有重复的数，所以在转移时还会要算上 \(cnt\)值

int kth(int rk){int now=rt;if(rk>=tr[now].siz)return -1;rk++;while(true){int sz=tr[rc(now)].siz;if(sz>=rk && rc(now)){now=rc(now);}else if(rk>tr[rc(now)].siz+tr[now].cnt){rk-=sz+tr[now].cnt;now=lc(now);}else{return tr[now].key;}}
}

完整代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define lc(x) tr[(x)].s[0]
#define rc(x) tr[(x)].s[1]
#define fa(x) tr[(x)].fa
using namespace std;
const int N=3e5+10;
struct tree{int s[2],fa,siz,key,cnt;tree(){s[0]=s[1]=fa=siz=cnt=key=0;}
}tr[N];
int idx,rt,mi,ans;
void pushup(int x){tr[x].siz=tr[lc(x)].siz+tr[rc(x)].siz+tr[x].cnt;
}
void clear(int x){lc(x)=rc(x)=fa(x)=tr[x].siz=tr[x].key=tr[x].cnt=0;
}
int newnode(int key){tr[++idx].key=key;tr[idx].siz=1;tr[idx].cnt=1;return idx;
}
int get(int x){return x==rc(fa(x));
}
void rotate(int x){int y=fa(x),z=fa(y),c=get(x);if(tr[x].s[c^1])fa(tr[x].s[c^1])=y;tr[y].s[c]=tr[x].s[c^1];tr[x].s[c^1]=y;fa(y)=x;fa(x)=z;if(z)tr[z].s[y==rc(z)]=x;pushup(y);pushup(x);
}
void splay(int x){for(int f=fa(x);f=fa(x),f;rotate(x)){if(fa(f))rotate(get(x)==get(f)?f:x);}rt=x;
}
void ins(int key){if(key<mi)return;int now=rt,f=0;while(now && tr[now].key!=key){f=now;now=tr[now].s[key>tr[now].key];}if(now){tr[now].cnt++;splay(now); return;}now=newnode(key);fa(now)=f;if(f)tr[f].s[key>tr[f].key]=now;splay(now);
}
int kth(int rk){int now=rt;if(rk>=tr[now].siz)return -1;rk++;while(true){int sz=tr[rc(now)].siz;if(sz>=rk && rc(now)){now=rc(now);}else if(rk>tr[rc(now)].siz+tr[now].cnt){rk-=sz+tr[now].cnt;now=lc(now);}else{return tr[now].key;}}
}
void find(int key){int now=rt;while(key!=tr[now].key && tr[now].s[key>tr[now].key]){now=tr[now].s[key>tr[now].key];}splay(now);
}
int nxt(int key){find(key);if(tr[rt].key>=key)return rt;int now=rc(rt);while(lc(now))now=lc(now);return now;
}
void del2(int x){int now=nxt(x+mi);splay(now);ans+=tr[lc(now)].siz;lc(now)=0;pushup(now);for(int i=1;i<=idx;i++){tr[i].key-=x;}
}
int main(){int n;scanf("%d%d",&n,&mi);ins(1547483647);for(int i=1;i<=n;i++){char op;int k;cin>>op>>k;if(op=='I'){ins(k);}if(op=='A'){for(int i=1;i<=idx;i++){tr[i].key+=k;}}if(op=='S'){del2(k);}if(op=='F'){printf("%d\n",kth(k));}}printf("%d\n",ans);
}

平衡树讲解