【持续更新】【专题】初等数论
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Updated at 2025.01.26
前言：
- 主要从线性筛开始速通初等数论
- 尽可能的多证明结论而不是阐述结论。如果你只是想回顾结论，请看其他人的 \(Blog\) .
一、基础概念
- 整除：对于两个正整数 \(a,b\), 存在一个数 \(k\) ,使得 \(a=bk\)，则称 \(b\) 整除 \(a\).记作 \(b\ |\ a\).
- 带余除法：对于两个正整数 \(a,b\), 存在两个数 \(k,r\) ,使得 \(a=bk+r\)，则称 \(b\) 除 \(a\) 商 \(k\) 余 \(r\).(\(b\div a=k\dots r\))
- 因数：能整除一个数的数被称为这个数的因数.
- 公因数：两个数共同具有的因数被称为这两个数的公因数。
- 质数：只有 \(1\) 喝和它本身的数被称为质数。\(2\) 是质数。
- 质因子：一个数的质因数（既是它的因数也是质数的数）被称为质因子。
- 算术基本定理：一个数能表示成其若干个质因数的乘积（类似于分解质因数的逆运算）。
二、基础算法
- 因数分解：分解出正整数 \(x\) 的所有因子。
- 复杂度：\(O(\sqrt n)\)
- 埃氏筛：快速筛出 \(1-n\) 中所有的素数。
- 复杂度：\(O(nloglogn)\)
- 质因数分解：快速分解出 \(n\) 的所有质因子。
- 复杂度：\(O(\sqrt{n})\)
- 欧几里得算法：快速求出两个数 \(a,b\) 的最小公约数( \(gcd\) ).
- 核心公式：\(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\).
三、Euler欧拉筛(线性筛)
关于线性筛
- 一种基于埃氏筛的高效筛法。
- 时间复杂度 \(O(n)\)。
- 保证每一个素数只被其最小质因子筛除。
- 每个素数只是被筛除一次。
让我们一个一个地证明这些结论：
证明
注：请结合代码理解。
void getprime() {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!vis[i]) p[++k] = i;//k为素数个数for (int j = 1; j <= k and i * p[j] <= n; j++) {vis[i * p[j]] = 1;if (i % p[j] == 0) break;}}
}
-
- 为什么这样写呢？怎么保证每个合数都被无遗漏地筛除呢？
- 设一合数为 \(x\) ，因为它是合数，所以它一定能表示为 \(x=pi\) 的形式（一个合数可以分解成两个数的乘积）。
- 我们令 \(p\) 为 \(x\) 的最小质因子。
- 现在请看代码，可知：当 \(i\ mod\ p=0\) 时循环立即中断。通俗的理解就是：当 \(i\) 是 \(p\) 的倍数时，循环直接 \(break\).
- 那么，让我们回归到程序，第二层循环遍历的是所有已经筛出来的质数，由程序可得：只要有一个数符合循环 \(break\) 的标准，循环就中断了。
- 符合循环 \(break\) 标准的质数肯定是一个小于 \(p\) 且是 \(i\) 因数的质数，对吧？
- 既然这个数是 \(i\) ,的质因子，\(i\) 又是 \(x\) 的因子，这个数就是 \(x\) 的质因子。
- 因为 \(p\) 是 \(x\) 的最小质因子，没有比它更小的质因子了，所以第二层循环中不可能再出现比 \(p\) 小而且是 \(x\) 的质因子的数了。
- 所以 \(x\) 一定能被筛到。
- 得证（反证法，不是特别严谨，有问题或疑问请评论或私信）。
-
- 那又如何保证每一个数只被其最小质因子筛一次呢？
- 我们设将要被筛除的合数为 \(x\) ，将其分解为 \(x=py=qz\) 的形式。
- 其中，\(p\) 是 \(x\) 的最小质因子，\(q\) 是 \(x\) 的另一个质因子（比 \(p\) 大）
- 接下来让我们再次分解: \(x=pqk\)，\(p,q\) 就是上面的 \(p,q\) ，\(k\) 为使得上面式子成立的数.
- 那么现在有：
\[x=p(qk) \]\[x=q(pk) \]- 我们设 \(y=qk\), \(z=pk\), 我们不难得到：\(z\) 中一定含有质因子 \(p\) 。而且 \(p<q\) 。
- 当 \(i\) 枚举到 \(z\) 、\(j\) 枚举到 \(p\) 时，\(i\ mod\ j=0\) 会先一步成立，所以 \(j\) 不会再往下面枚举到 \(q\) ，从而避免了枚举到 \(py=x\) 之后又枚举到 \(qz=x\) ,造成重复计算.而且每个合数仅仅被其最小质因子（也就是 \(p\)）筛除.
- 让我们举个栗子：
-
- 要筛除的合数 \(x\) 是 \(35\)
-
- 最小质因子 \(p\) 是 \(5\)
-
- 质因子 \(q\) 是 \(7\)
-
- \(35\) 可以写成 \(35=5*7=7*5(x=py=qz)\) 的形式。
-
- \(35\) 还可以写成 \(35=5*7*1(x=pqk)\) 的形式。
-
- 由第五步中的式子转化为：\(35=5*(7*1)=7*(5*1)(x=py=qz)\) 的形式。
-
- 由第四步可知：\(y=7,z=5\).
-
- 由第六步可知：\(y=7*1,z=5*1\).
-
- 那么，\(z\) 中含有 \(p\) 的时候就会 \(break\),刚好是在筛出 \(35\) 这个合数之后，以保证不会再往下筛，从而避免一个数被筛多次的情况。
-
-
- 为什么复杂度是线性( \(O(n)\) )的？
- 因为每个质数只会被记录一次，每个合数只是会被筛除一次，但是埃氏筛会将每个合数筛 \(loglogn\) 次（ \(O(nloglogn)\) ），这就是欧拉筛（线性筛）为什么复杂度是 \(O(n)\) 的原因。
例题：
-
- 题面描述：\(T\) 组数据。每次给定一个整数 \(n\)，求 \(n\) 所有质因子的按位异或和.
- 数据范围：\(1\le T\le 10^5,2\le N\le 10^8\)
- 思路：如果每次把 n 都除以自己的最小质因子，那么可以 \(O(log n)\) 完成一次质因子分解。
如何求出最小质因子?
在线性筛的时候，每个数都被自己的最小质因子筛掉。所以我们只要在当一个数被筛的时候记录筛掉它的数即可。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e8 + 5;
bitset <N> vis;
int mn[N];
int p[N / 10];
void getprime() {for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!vis[i])p[++k] = i, mn[i] = i;for (int j = 1; j <= k && i * p[j] <= n; j++) {vis[i * p[j]] = 1;mn[i * p[j]] = p[j];if (i % p[j] == 0)break;}}
}
int main() {int T, n;cin >> T;while (T--) {cin >> n;int ans = 0;while (n > 0) ans ^= nm[n], n /= nm[n];cout << ans << '\n';}
}
四、欧几里得定理及其扩展&裴蜀定理
欧几里得定理（\(gcd\)）
定理
- 先放定理：设 \(a,b\) 是两个整数，且 \(b \neq 0\)，则 \(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\)。
- 时间复杂度：\(O(log\ min(a,b))\)
前置知识
- 模运算( \(\%\) ): 相信你学习到这里已经掌握了几乎所有模运算性质，这里我们只需使用到一个，即：
-
\[a\ mod\ b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]
-
\[a=a\ mod\ b+\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]
- 为什么是这样呢？
- 这里的 \(\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor\) 就是 \(a\div b\) 所得的整数商。将 \(a\) 减去这个值所得的就是 \(a\div b\) 所得的余数。也就是 \(a\ mod\ b\) 。
- 我们举例说明：
-
\[10\%3=10-\left \lfloor \frac{10}{3} \right \rfloor \times 3 \]
-
\[10=10\%3(余数部分)+\left \lfloor \frac{10}{3} \right \rfloor \times 3(整数商) \]
-
-
证明
下面开始证明（汗流浃背
- 设 \(d=gcd(a,b)\) ,则 \(d\) 能整除 \(a,b\), 即：
-
\[d|a\ \ d|b \]
-
- 可以写成：
-
\[a=k_1d,b=k_2d\ (k_1,k_2\in \mathbb {Z(整数)}) \]
-
- 根据前置知识，\(a\%b\) 可以写成：
-
\[a\%b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b \]
-
- 将 \(a=k_1d,b=k_2d\) 带入得：
-
\[a\%b=k_1d-\left \lfloor \frac{k_1d}{k_2d} \right \rfloor \times k_2d \]
-
- 根据分数线的性质消元得：
-
\[a\%b=k_1d-\left \lfloor \frac{k_1}{k_2} \right \rfloor \times k_2d \]
-
- 设 \(q=\left \lfloor \frac{k_1}{k_2} \right \rfloor\) ，并将其带入得：
-
\[a\%b=k_1d-qk_2d \]
-
- 提出公因数 \(d\) 可得：
-
\[a\%b=(k_1-qk_2)d \]
-
- 因为 \(k_1,k_2\) 被定义为整数，且 \(q\) 已经经过了向下取整，所以 \(q\) 也是整数，故 \(k_1+qk_2\) 也是整数。
- 立得： \(d\) 整除 \(a\ mod\ b\) .
- 所以 \(d\) 既是 \(a,b\) 的最大公约数，也是 \(b,a\ mod\ b\) 的公约数。
- 反过来，设 \(d'=gcd(b,a\ mod\ b)\), 则 \(d'\) 整除 \(b,a\ mod\ b\) .
- 由前置知识得： \(a=a\ mod\ b+\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\)
- 因为： \(d'\) 整除 \(a\ mod\ b,b\)，
- 所以： \(d'\) 整除 \(a\ mod\ b,\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor \times b\)，
- 所以 \(d'|a\). (\(d'\) 整除 \(a\)).
- 所以：\(d'\) 整除 \(a,b\) .
- 整合
- 因为 \(d\) 是 \(a,b\) 的最大公因数，而 \(d'\) 只是 \(a,b\) 的公因数，不难得到：\(d'\le d\)；
- 因为 \(d'\) 是 \(b,a\ mod\ b\) 的最大公因数，而 \(d\) 只是 \(b,a\ mod\ b\) 的公因数，不难得到：\(d\le d'\)；
- 综上所述：
-
\[\left\{\begin{matrix}d\le d'\\d'\le d\end{matrix}\right. \]
- 该方程的解为：\(d=d'\)
-
- 即：
-
\[gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b) \]
- 当 \(b=0\) 时，\(gcd(a,b)=a\) ,因为 \(b\) 除以任何数都是 \(0\) ，那这个时候的最大公约数就理所应当的成为了 \(a\), 满足：\(a|a,b(0)|a\)。
-
- 我们只需要逐渐递归求解 \(gcd\) 即可，递归的终止条件为 \(b=0\) ，那时只需 \(return\ a\) 即可。
裴蜀定理
定理
先放定理：设 \(a,b\) 是不全为零的整数，则存在整数 \(x,y\)，使得 \(ax + by=gcd(a,b)\)。
证明
请确保您已经理解 \(gcd\) 及其前置知识&证明。
- 当 \(b=0\) 时，由上面的证明可得：
-
\[gcd(a,b)=a \]
-
- 这时，\(x=1,y=0\) 显然满足 \(ax + by=gcd(a,b)\)。
- 我们假设对于 \(b,a\ mod\ b\)，裴蜀定理成立，即存在整数 \(x_1,y_1\)，满足
-
\[bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]
-
- 由模运算的性质（ \(gcd\) 的前置知识）可得：
-
\[a\ mod\ b=a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b \]
-
- 将其带入得：
-
\[bx_1+(a-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor b)y_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]
-
- 拆括号得：
-
\[bx_1+ay_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]
-
- 移项得：
-
\[ay_1+bx_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor by_1=gcd(b,a\ mod\ b) \]
-
- 合并同类项可得：
-
\[ay_1+(x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1)b=gcd(b,a\ mod\ b) \]
-
- 由 \(gcd\) 的证明可得: \(gcd(a,b)=gcd(b,a\ mod\ b)\).
- 带入得：
-
\[ay_1+(x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1)b=gcd(a,b) \]
-
- 令：
-
\[x=y_1,y=x_1-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_1 \]
-
- 就找到了满足条件的 \(x,y\) 。
- 由数学归纳法可知，裴蜀定理对于任意不全为零的整数 \(a,b\) 都成立。
- 证毕。
扩展欧几里得算法（\(exgcd\)）
提示：扩展欧几里得算法是一种使用程序求解问题的算法，不是定理！
目标
目标：由 \(gcd\) 和裴蜀定理求 \(ax+by=gcd(a,b)\) 的一组整数解。
做法
- 请确保您已经理解裴蜀定理的证明！
- 现在有方程 \(ax+by=gcd(a,b)\) ，求该方程的一组解。
- 由裴蜀定理可知，当 \(b=0\) 时，该方程的解为 \(x=1,y=0\)
- 根据裴蜀定理的结论可知：
-
\[x = y_1,y = x_1 - \lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1 \]
-
- 这样就得到了满足 \(ax + by = gcd(a, b)\) 的整数 \(x\) 和 \(y\)。
- 由裴蜀定理可知，\(x_1,y_1\) 是 \(bx_1+(a\ mod\ b)y_1=gcd(b,a\ mod, b)\) 的解。只要再次递归求解该方程即可。
- 详情见程序流程图：(绘图工具：draw.io)
五、同余
- 符号为 \(【\equiv】\).
- 定义：\(a\equiv b(mod\ p)\) 表示： \((a-b)\ mod\ p=0\)，即 \(a-b=km\)（\(k\) 为整数）。
- 举个栗子：\(a=13,b=3,p=5\)，计算 \((13-3)\ mod\ 5\) 正好是 \(0\),所以 \(5\) 能够整除 \(10\).我们这时称： \(13\equiv 3(mod\ 5)\)
- 性质： 若 \(a=b\)：\(a\equiv b(mod\ m)\)
- 证明：
- 等式两边同时 \(mod\ p\) 得：
-
\[a\ mod\ x=b\ mod\ x \]
-
- 设 \(a=k_1x+r,b=k_2x+r\), 其中 \(k_1\) 是整数, \(r\) 就是 \(a\) 除以 \(x\) 后的余数，也就是 \(a\ mod\ x = r\)。
- 因为已知 \(a\% x = b\% x\)，所以它们除以 \(x\) 后的余数相同，都为 \(r\)，其中 \(k_2\) 是整数。
- 那么：
-
\[a-b=(k_1x+r)-(k_2x+r)=(k_1-k_2)x \]
-
- 因为 \(k_1,k_2\) 都是整数，所以说：\(a-b\) 是能被 \(m\) 整除的。
- 所以：
-
\[(a-b)\ mod\ x=0 \]
-
- 根据同余的定义得：
-
\[a\equiv b(mod\ x) \]
-
- 所以得出结论：等式两边同时模上一个数，等式依然成立。
六、逆元
前置知识
请保证你已经足够熟悉同余相关知识！
定义
- 先放定义： 给定正整数 \(a,m\)，若存在整数 \(x\) 使得 \(a\times x\equiv 1(mod\ m)\)，则称：\(x\) 是 \(a\) 在模 \(m\) 意义下的逆元，记作：\(a^{-1}\) .(注意这个写法是在模运算的情境下的一种表示，不是常规的倒数那种意思哦)
证明：
存在性：若 \(gcd(x,p)=1\) ，则 \(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元。
- 根据裴蜀定理，若 \(gcd(x,p)=1\) ，则存在整数 \(s,t\) ，使得 \(xs+pt=1\)
- 现在我们考虑其在模 \(p\) 的意义下， \(1\ mod\ p=1\)，根据同余的性质，\((xs+pt)\bmod p=1\bmod p\)
- 因为 \(pt\equiv 0(mod\ p)\)，所以 \(pt\) 对 \((sx+pt)\bmod p\) 并没有贡献，可以省略。
- 那么舍去 \(pt\) 后的式子为：\(sx\bmod p=1\bmod p\)。
- 此时，\(s\) 就是 \(x\) 在模 \(p\) 意义下的逆元，即：\(x\ ·\ s\equiv1\pmod p\) .
- 得证：若 \(gcd(x,p)=1\) ，\(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元。
必要性：若 \(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元，则 \(gcd(x,p)=1\)。
- 当 \(x\) 在模 \(p\) 意义下存在逆元时，我们把这个逆元记作 \(y\)，那么存在：
-
\[xy\equiv 1\pmod p \]
-
- 根据模运算的定义的逆运算得：
-
\[(xy-1)\bmod p=0 \]
-
- 我们将模运算写成这样的形式（\(k\) 为整数）：
-
\[xy-1=kp \]
-
- 移项得：
-
\[xy-kp=1 \]
-
- 我们设 \(d=gcd(x,p)\)，根据最大公约数的性质，\(d\) 整除 \(x,p\)，即：
-
\[d\ |\ x,\ \ d\ |\ p \]
-
- 因为 \(d\) 整除 \(x\)，所以 \(d\) 整除 \(xy\)；
- 因为 \(d\) 整除 \(p\)，所以 \(d\) 整除 \(kp\)；
- 所以 \(d\) 整除 \(xy-kp\)
- 因为 \(xy-kp=1\) ，所以 \(d\) 整除 \(1\)，又因为 \(d\) 是正整数，所以 \(d=1\)，即：\(gcd(x,p)=1\)
- 综上，充分性和必要性均得证，所以 \(x\) 在模 \(p\) 同余下存在逆元当且仅当 \(gcd(x,p)=1\)。
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