在诸多时候（例如组合计数），我们很方便处理加与乘，此时 \(\max\) 这种东西对我们是一个头疼的东西。
同样令我们头疼的还有逻辑与、逻辑或、绝对值，这些东西在一定前提下是可以互相转化的，显然将所有形式转化到一起，有利于我们观察性质。
叙述完了目的，我们开始正文。
max 的性质
\(\max(a,a)=a\) 配合上交换律结合律使得 \(\max\) 是一个很有性质的运算，\(+\) 对 \(\max\) 还有分配律，甚至 \(\min\) 对 \(\max\) 也有分配律。
同向的 \(\max\) 可以让我们拆掉很多东西，很典型的，倘若我们的“贡献”指的是对答案取 \(\max\)，那么 \(\max(a,b)\) 贡献到答案，就不如 \(a,b\) 贡献到答案。
\(\max\) 运算不可逆是它唯一的缺点，也是通常它令我们头疼的点。
逻辑
很经典的，\(\max(a,b)\le c\iff a\le c\wedge b\le c,\max(a,b)\ge c\iff a\ge c\vee b\ge c\)。
通常更有用的是第一个，因为复杂问题下，给出的诸多“限制”自带逻辑与的含义，\(a\le c\wedge b\le c\) 虽然增加了条件的个数，但是却化简了条件。
当然，后者也很有用，因为当 \(a,b,c\) 都是一坨式子的时候，将其变为可以移项的不等式实在是很有用的一件事。
下面给出一个例子，这在 Exchange Arguments 问题及其变种中十分有用：
不去深究具体含义，这确实为我们带来了很直观的等价版本。
同样的方式也可以用来处理集合的交并，不过直接对交并统计的题目较为冷门，此处不展开。
绝对值
绝对值与 \(\max\) 的互转同样很常用。
很经典的，\(|a-b|=\max(a-b,b-a)\)，这在 曼哈顿距离 中十分常用，例如如果我们要求距离每个点的最大曼哈顿距离，由于求最大值，所以 \(\max\) 的结合律可以让我们拆掉内层的 \(\max\)，于是我们可以用 \(2^k n\)（\(k\) 是维数）的复杂度求解。
例题：[ARC107F] Sum of Abs。
本题就把 \(\max |\sum b|\) 拆成了"所有 \(b\) 的符号必须相同即可贡献到答案"，然后再用一些网络流技巧来限制符号相同。
还有一个容易忽视的转化：\(\max(a,b)=\frac{a+b+|a-b|}{2}\)，如果我们把加和乘看作“没有代价”的话，那么这个式子实现了 \(\max(a,b)\) 和 \(|a-b|\) 的直接转化，若 \(a-b\) 能化简那再好不过。
例题：CF2062F。
给定序列 \(a,b\)，一个完全图，\(w(i,j)=\max(a_i+b_j,a_j+b_i)\)，对每个 \(k\) 求 \(k\) 条边的最短哈密顿路。
\(n\le 3000\)。
忽略掉除以 \(2\)，对一条路径，前面的贡献就是 \(2(\sum a+\sum b)- (a+b)_{first,last}\)，后面的贡献就是将位置视作 \(x_i=(a_i-b_i)\)，不断移动的路程。
显然，固定 \(first,last\)，后面的贡献最小是 \(2(\max x-\min x)-|x_{first}-x_{last}|\)。
到这里已经可以 \(\rm dp\) 了，按照 \(x\) 排序后，设 \(f_{i,j,0/1/2}\) 表示前 \(i\) 个，选了 \(j\) 个，无 \(first,last\)/有其一/都有，\(\min x\) 的贡献在 \(j\) 由 \(0\) 变为 \(1\) 时算，\(\max\) 的贡献可以统计答案时算。
