莫比乌斯函数
\[\mu(x)=\begin{cases}1\ \ &(x=1)\\(-1)^k\ \ &(\text{$x$没有平方数因子，且$x$的质因子个数为$k$})\\0 &(\text{$x$有平方数因子})\end{cases}
\]
很好理解 \(\mu\) 是积性函数。但是这个定义略显奇怪。这是因为它满足如下式子：
\[\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]
\]
也就是说有
\[\mu * 1=\varepsilon
\]
事实上莫比乌斯函数是为了满足上面的那个式子才被定义出来的。
类似的有
\[\sum_{d|\gcd(i,j)}\mu(d)=[\gcd(i,j)=1]
\]
事实上只是将 \(n\) 换成了 \(\gcd(i,j)\)，但是在很多式子中会很有用。
莫比乌斯反演
\[g(n)=\sum_{i|n}f(i)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{i|n}\mu(\frac{n}{i})g(i)
\]
但是事实上这个式子并不是很常用，限制有点多。更常用的是上面的式子和另一个，把它们合起来写：
\[\begin{cases}
\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1] \\
n=\sum_{d|n} \varphi(d)
\end{cases}
\]
