抢首A

在进行专题训练时，信竞生们为证明自己的实力，得到荣誉感，展开了一个名叫“抢首A”的活动，具体的，一道题目的第一发通过（Accepted）称作“首A”，为了提升同们的做题体验，题目难度从小至大排序，（既：简单题目在左）

实力高强的崂山普鲁斯同学做题速度最快，每次都从简单题目开始，让自己能拿到更多的首A。

由于王一乐的水平低下，无法与高年级同学抗衡，于是只能先做难题来抢夺首A。

1. 现在简化同学们的做题轨迹，已知崂山普鲁斯同学每小时可做0.7题，王一乐每小时能做0.6题，已知共有11道题，注意，只有100%做完一道题才算作通过，求王一乐可抢到几个首A？

2. 在1的条件下，但事实并不那么理想，王一乐在做到第3难的题时发现自己因为不会概率期望而看了0.2h只能跳过，崂山普鲁斯同学则是在做完之前的简单题后就切掉了这道题，请问当没有首A可抢时王一乐做完了几道题？

3. 在1的条件下，此时的猖俺19撸也加入了比赛，一小时可做1题，他也每次都从简单题目开始，让自己能拿到更多的首A，我们假设同学们相当功利，崂山普鲁斯当当前做的题目被猖俺19撸抢掉就会直接进入下一题，并直接从第2简单题开始，请问崂山普鲁斯能抢到几个首A？过多久就没有首A可抢？

solutions:

1.注意到题目描述了一大坨没有用的东西实际上就是个取整的相遇问题，那我们不妨先考虑只剩一道的情况

解：

设经过了 t 时

当相距一道题时：

\[0.7t+0.6t=10\\ 1.3t=10\\ t=\frac{100}{13} \]

崂山普鲁斯此时做的题目数：\(\frac{100}{13}*0.7=\frac{70}{13}=5\frac{5}{13}\)道

王一乐此时做的题目数：\(\frac{100}{13}*0.6=\frac{60}{13}=4\frac{8}{13}\)道

崂山普鲁斯做完目前这道还需：\((1-\frac{5}{13})/0.7=\frac{50}{91}\)小时

王一乐做完目前这道还需：\((1-\frac{8}{13})/0.6=1\frac{1}{39}\)小时

相差时间：\(1\frac{1}{39}-\frac{50}{91}=\frac{1}{21}\)小时

那么我们注意到这些时间并不够崂山普鲁斯同学再做一道题，于是就结束了，王一乐有了4+1=5道首A

答：王一乐有5道题首A

2.这道题目也是非常简单啊，我们就不妨认为王一乐花0.2h就切了第3难题，相当于提前了0.4h做完了“相遇”之前那道题，但这\(0.4-\frac{1}{21}\)小时无法让王一乐抢到崂山普鲁斯当前做的这道题，题目也并未说王一乐会在没有可拿的首A时改变策略，所以当崂山普鲁斯用\((6+1)/0.7=10\)小时抢完首A时，王一乐就相当于有\(10-0.2=9.8\)小时的“有效”做题时间，因此最后王一乐就会做\(9.8/0.6=5\frac{2}{22}\)道题，也就是做了5道题

3.这题仍然没有难度，我们注意到若猖俺19撸成功的打断了崂山普鲁斯抢夺首A，崂山普鲁斯就会因为没有猖俺19撸做题快而陷入被动，不断的跳题，于是我们算出猖俺19撸什么时候追上崂山普鲁斯，得到是\(1/(1-\frac{7}{10}))=\frac{10}{3}\)小时，那么此时很显然猖俺19撸以做完了3道，正在做第4简单题，而王一乐做了\(\frac{10}{3}*0.6=2\)道题，而崂山普鲁斯做了\(\frac{10}{3}*\frac{7}{10}=4\frac{16}{21}\)题，然后变为了猖俺19撸和王一乐的相遇。

设又经过了 t 时猖俺19撸和王一乐相距一道题时：

\[t+0.6t=\frac{14}{3}\\ 1.6t=\frac{14}{3}\\ t=\frac{35}{12} \]

那么此时王一乐做了\(2+\frac{35}{12}*0.6=3\frac{3}{4}\)道题，猖俺19撸做了\(\frac{10}{3}+\frac{35}{12}*1=6\frac{1}{4}\)道题，王一乐还需\(\frac{1}{4}/0.6=\frac{5}{12}\)小时才能做完当前的题目，猖俺19撸需要\(\frac{3}{4}\)小时才能做完当前的题目，那么再过\(\frac{3}{4}\)小时就无首A可抢，答案就是\(\frac{10}{3}+\frac{35}{12}+\frac{3}{4}=\frac{79}{12}\)小时