LeetCode 第22题：括号生成
题目描述
数字 n 代表生成括号的对数，请你设计一个函数，用于能够生成所有可能的并且 有效的 括号组合。
难度
中等
题目链接
https://leetcode.cn/problems/generate-parentheses/
示例
示例 1：
输入：n = 3
输出：["((()))","(()())","(())()","()(())","()()()"]
示例 2：
输入：n = 1
输出：["()"]
提示
- 1 <= n <= 8
解题思路
方法一：回溯法
这道题可以使用回溯法，通过跟踪左括号和右括号的数量来生成所有有效组合。
关键点：
- 左括号数量不能超过n
- 右括号数量不能超过左括号数量
- 当左右括号数量都等于n时，得到一个有效组合
具体步骤：
- 使用StringBuilder构建当前括号组合
- 记录已使用的左括号和右括号数量
- 递归尝试添加左括号或右括号
- 满足条件时将结果加入列表
时间复杂度：O(4ⁿ/√n)，这是第n个卡特兰数的渐近复杂度
空间复杂度：O(n)，递归栈的深度
方法二：动态规划
也可以使用动态规划来解决，通过构建子问题的解来得到最终结果。
思路：
- dp[i]表示i对括号的所有有效组合
- 对于dp[i]，可以通过在dp[j]的基础上添加括号得到
- 利用已经计算出的子问题解
代码实现
C# 实现（回溯法）
public class Solution {public IList<string> GenerateParenthesis(int n) {List<string> result = new List<string>();BackTrack(result, new StringBuilder(), 0, 0, n);return result;}private void BackTrack(List<string> result, StringBuilder current, int leftCount, int rightCount, int n) {// 如果当前字符串长度等于2n，说明找到了一个有效组合if (current.Length == n * 2) {result.Add(current.ToString());return;}// 如果左括号数量小于n，可以添加左括号if (leftCount < n) {current.Append('(');BackTrack(result, current, leftCount + 1, rightCount, n);current.Length--; // 回溯，删除刚才添加的括号}// 如果右括号数量小于左括号数量，可以添加右括号if (rightCount < leftCount) {current.Append(')');BackTrack(result, current, leftCount, rightCount + 1, n);current.Length--; // 回溯，删除刚才添加的括号}}
}
C# 实现（动态规划）
public class Solution {public IList<string> GenerateParenthesis(int n) {List<List<string>> dp = new List<List<string>>();dp.Add(new List<string> { "" }); // dp[0]for (int i = 1; i <= n; i++) {List<string> current = new List<string>();for (int j = 0; j < i; j++) {foreach (string left in dp[j]) {foreach (string right in dp[i - 1 - j]) {current.Add($"({left}){right}");}}}dp.Add(current);}return dp[n];}
}
代码详解
回溯版本：
- 使用StringBuilder：
- 比字符串拼接更高效
- 方便回溯时删除字符
- 回溯条件：
- leftCount < n 时可以添加左括号
- rightCount < leftCount 时可以添加右括号
- 终止条件：
- 当前字符串长度等于2n
动态规划版本：
- 状态定义：
- dp[i]表示i对括号的所有有效组合
- 状态转移：
- 通过在子问题解的基础上添加括号
- 构建方式：
- 使用两层循环遍历所有可能的组合
执行结果
回溯版本：
- 执行用时：96 ms
- 内存消耗：45.2 MB
动态规划版本：
- 执行用时：88 ms
- 内存消耗：46.8 MB
总结与反思
- 这是一道经典的回溯算法题目：
- 考察对回溯思想的理解
- 考察括号匹配规则的应用
- 考察代码的优化能力
- 两种解法比较：
- 回溯：思路直观，实现简单
- 动态规划：效率更高，但实现较复杂
- 优化思路：
- 使用StringBuilder提高效率
- 剪枝优化回溯过程
- 合理使用递归和迭代
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