LGP9607 [CERC 2019] Be Geeks! 学习笔记
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题意简述
给定一个长为 \(n\) 的序列 \(A\)。
定义 \(G(l,r)=\gcd(a_l,a_{l+1}\cdots a_r)\)；
定义 \(M(l,r)=\max(a_l,a_{l+1}\cdots a_r)\)；
定义 \(P(l,r)=G(l,r)\times M(l,r)\)；
计算 \(\sum P(i,j)[1\le i\le j\le N]\)
\(N\le 2\times10^5\)。
做法解析
看到这种静态计算 \(\sum F(i,j)[1\le i\le j\le N]\)，其中 \(F\) 是某个有关于 \(\max\) 或 \(\min\) 的函数的，就想到“极值分治”。这种思想利用每个元素作为极值的区间的包含关系，建立一棵笛卡尔树做到不重不漏。考虑建笛卡尔树。
考虑我们遍历到笛卡尔树的 \(u\) 结点时，我们将考虑所有横跨 \(u\) 的区间，它们的 \(\max\) 都已经确定下来了，但是 \(\gcd\) 呢？一个经典结论是：一个序列的所有前缀的 \(\gcd\) 只有 \(O(\log V)\) 种取值（考虑一个缀变长时其 \(\gcd\) 不可能变大，若变小则至少减小一半，最多减小 \(\log V\) 次），后缀同理。又由于我们当前枚举的区间总是由 \([cl,u]\) 的一个后缀和 \([u,cr]\) 的一个前缀构成，所以 \(\gcd\) 的取值最多有 \(O(\log^2 V)\) 种。并且由于 \(\gcd\) 随着缀扩大而单调不增，所以我们可以每次用一个 \(O(\log N)\) 的二分确定 \(\gcd(x,u)\)（或 \(\gcd(u,x)\)）取值相同的一段。总的时间复杂度就是 \(\max(O(N\log N\log V),O(N\log^2 V))\)。
代码实现
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
namespace obasic{typedef long long lolo;template <typename _T>void readi(_T &x){_T k=1;x=0;char ch=getchar();for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-')k=-1;for(;isdigit(ch);ch=getchar())x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';x*=k;return;}template <typename _T>void writi(_T x){if(x<0)putchar('-'),x=-x;if(x>9)writi(x/10);putchar(x%10+'0');}
};
using namespace obasic;
const int MaxN=2e5+5,Mod=1e9+7;
int N,A[MaxN],lg2[MaxN],cd[20][MaxN];
int stk[MaxN],ktp,ls[MaxN],rs[MaxN];
void st_prework(){for(int i=1;i<=N;i++)cd[0][i]=A[i];for(int i=1,w;(w=1<<i)<=N;i++){for(int j=1;j+w-1<=N;j++){cd[i][j]=gcd(cd[i-1][j],cd[i-1][j+(w>>1)]);}}
}
int getgcd(int l,int r){int k=lg2[(r-l+1)];return gcd(cd[k][l],cd[k][r-(1<<k)+1]);
}
int getj(int t,int u,int bl,int br,int val){int bmid,res=u;while(bl<=br){bmid=(bl+br)>>1;if(!t)getgcd(bmid,u)==val?res=bmid,br=bmid-1:bl=bmid+1;else getgcd(u,bmid)==val?res=bmid,bl=bmid+1:br=bmid-1;}return res;
}
map<int,int> mp1,mp2;
lolo solve(int u,int cl,int cr){lolo res=0;if(cl==cr)return 1ll*A[u]*A[u]%Mod;if(ls[u])(res+=solve(ls[u],cl,u-1))%=Mod;if(rs[u])(res+=solve(rs[u],u+1,cr))%=Mod;for(int i=u,j,ccd;i>=cl;i=j-1)ccd=getgcd(i,u),j=getj(0,u,cl,i,ccd),mp1[ccd]=i-j+1;for(int i=u,j,ccd;i<=cr;i=j+1)ccd=getgcd(u,i),j=getj(1,u,i,cr,ccd),mp2[ccd]=j-i+1;for(auto [xn,xc] : mp1)for(auto [yn,yc] : mp2)(res+=1ll*A[u]*gcd(xn,yn)%Mod*xc%Mod*yc%Mod)%=Mod;mp1.clear(),mp2.clear();return res;
}
lolo ans;
int main(){readi(N);for(int i=1;i<=N;i++)readi(A[i]);for(int i=2;i<=N;i++)lg2[i]=lg2[i>>1]+1;for(int i=1;i<=N;i++){int k=ktp;while(k&&A[stk[k]]<A[i])k--;if(k<ktp)ls[i]=stk[k+1];if(k)rs[stk[k]]=i;stk[++k]=i,ktp=k;}st_prework();ans=solve(stk[1],1,N);writi(ans);return 0;
}
反思总结
对全部区间进行静态计算某个关于极值的函数就考虑见笛卡尔树做极值分治。
