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解题思路
这是一个01背包问题的变体：
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问题分析：
- 目标：找到一些数，使其和等于剩余数之和
- 等价于：找到一些数，使其和等于总和的一半
- 因为：如果一部分和为 \(sum/2\)，那么剩余部分也为 \(sum/2\)
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解题步骤：
- 先求出数组总和 \(sum\)
- 如果 \(sum\) 是奇数，直接返回 false
- 问题转化为：能否从数组中选择一些数，使其和为 \(sum/2\)
- 使用01背包求解
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动态规划设计：
- 状态定义：\(dp[j]\) 表示是否能凑出和为 \(j\)
- 初始化：\(dp[0]=true\)，其他为 \(false\)
- 状态转移：\(dp[j] = dp[j] || dp[j-num]\)
代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <numeric>
using namespace std;bool canPartition(vector<int>& nums) {int sum = accumulate(nums.begin(), nums.end(), 0);// 如果总和为奇数，无法平分if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;vector<bool> dp(target + 1, false);dp[0] = true;// 对每个数进行01背包for(int num : nums) {// 从后向前遍历for(int j = target; j >= num; j--) {dp[j] = dp[j] || dp[j - num];}}return dp[target];
}int main() {int n;cin >> n;vector<int> nums(n);for(int i = 0; i < n; i++) {cin >> nums[i];}cout << (canPartition(nums) ? "true" : "false") << endl;return 0;
}
import java.util.*;public class Main {public static boolean canPartition(int[] nums) {int sum = 0;for(int num : nums) sum += num;// 如果总和为奇数，无法平分if(sum % 2 != 0) return false;int target = sum / 2;boolean[] dp = new boolean[target + 1];dp[0] = true;// 对每个数进行01背包for(int num : nums) {// 从后向前遍历for(int j = target; j >= num; j--) {dp[j] = dp[j] || dp[j - num];}}return dp[target];}public static void main(String[] args) {Scanner sc = new Scanner(System.in);int n = sc.nextInt();int[] nums = new int[n];for(int i = 0; i < n; i++) {nums[i] = sc.nextInt();}System.out.println(canPartition(nums) ? "true" : "false");sc.close();}
}
def can_partition(nums: list) -> bool:total = sum(nums)# 如果总和为奇数，无法平分if total % 2 != 0:return Falsetarget = total // 2dp = [False] * (target + 1)dp[0] = True# 对每个数进行01背包for num in nums:# 从后向前遍历for j in range(target, num - 1, -1):dp[j] = dp[j] or dp[j - num]return dp[target]if __name__ == "__main__":n = int(input())nums = list(map(int, input().split()))print("true" if can_partition(nums) else "false")
算法及复杂度
- 算法：动态规划（01背包）
- 时间复杂度：\(\mathcal{O}(n \times target)\)，其中 \(n\) 是数组长度，\(target\) 是总和的一半
- 空间复杂度：\(\mathcal{O}(target)\)，使用一维 \(dp\) 数组
