线性规划 - 对偶
定义
线性规划是一类满足限制条件为关于自变量的线性约束，且目标函数是关于自变量的线性函数的一类最优化问题。
对于一组自变量 \(x_i\)，定义多元线性函数 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^na_ix_i\)，称 \(f(x_1,x_2,\dots,x_n)\ge/\le/=b_i\) 为线性约束。
可以写成如下的标准型：
\[{\begin{cases}
f(x_1,x_2,\dots,x_m) \le b_i,i=1,2,\dots,n\\
x_i \ge 0 ,i=1,2,\dots,m\\
\end{cases}}\\
\max\sum_{i=1}^m c_ix_i
\]
写作矩阵即为：
\[x\ge0, Ax\le B\\
\max C^Tx
\]
再定义这一线性规划的对偶线性规划为：
\[{\begin{cases}
f(y_1,y_2,\dots,y_n) \ge c_i ,i=1,2,\dots,m\\
y_i \ge 0 ,i=1,2,\dots,n\\
\end{cases}}\\
\min\sum_{i=1}^n b_iy_i
\]
写作矩阵：
\[y\ge0, A^Ty\ge C\\
\min B^Ty
\]
其实形象化一些，就是同时将限制和答案的系数翻转了一下。
特别定义：这里向量的弱序关系 $\vec x\le \vec y $ 当且仅当 \(\vec x\) 的每一维上都对应有 \(\le \vec y\)。
性质
弱对偶定理：\(C^Tx\le B^Ty\)
强对偶定理：\(C^Tx=B^Ty\)
所以说，对偶的作用就在与转化问题，使问题变得更加可做、简单。
例题
咕咕咕
