2.25 CW 模拟赛 T4. 博弈论-编程知识

2.25 CW 模拟赛 T4. 博弈论

news/2025/2/26 8:58:35/文章来源:https://www.cnblogs.com/YzaCsp/p/18737711

前言

本来并不打算补这个题, 但是发现想拿到更好的分数, 应该对这题有更多的分析
至于 $\rm{T3}$ , 除了让我知道分拆数类型的状态压缩 $\rm{dp}$ 还可以乱搞, 没有什么意义, 现在也不太可能拥有这个水平

思路

题意

给定一个序列
$\textrm{A and B}$ 每次可以在序列两侧选择并拿出一个数, 把答案异或上它 $($ 初始是零 $)$
最终拿完之后, 手上答案更大的赢
$\rm{A}$ 先手, 输出哪位必胜或平局

不难发现, 由于异或的结合律, 最终 $\rm{A}$ 的答案$($以下记为 $a$$)$ 异或上 $\rm{B}$ 的答$($以下记为 $b$$)$ 等于全串异或和 $s$
因此如果全串异或和 $s=0$ , 那么必定没有必胜策略

现在剩下的情况中, 必定没有平局情况
对答案进行二进制拆分, 不难发现对于 $s$ 的最高位置, 一定有 $\textrm{A or B}$ 中的一个拿到这个 $1$ , 另外一个拿不到
所以我们可以只考虑最高位, 问题转化成 $01$ 序列上的问题

暴力做法

你发现这种两端取数问题长得非常像区间 $\rm{dp}$

我们先不考虑 $\rm{dp}$ 怎么做, 先把所有情况的游戏树列出来
不难发现, 如果 $\rm{Alice}$ 必胜, 那么一定存在一个方法, 使得 $\textrm{Alice}$ 每次选择都可以走到一个不管 $\textrm{Bob}$ 怎么选都可以必胜的状态
如果 $\rm{Alice}$ 必输, 那么就是无论怎样都传不上去

图片说明

图片中, $\rm{Alice}$ 必胜, $\rm{Bob}$ 必输

怎么形象的处理这个问题, 不难发现你不太可能直接把这个大小为 $2^n$ 的树建出来, 所以我们可以考虑从 $\rm{dp}$ 的角度思考
类似区间 $\rm{dp}$ , 对这棵树标号

不难发现我们可以预处理出每一个叶子结点的取值$($$\textrm{Alice win or Bob win}$$)$ , 每次上提的过程就是 $\rm{dp}$ 的过程, 发现同编号区间状态一定相同 $($不难理解, 因为异或的结合律$)$ , 所以直接转移即可做到 $\mathcal{O} (n^2)$

正解

他人题解, 仅供参考 (来源)

分为两种情况：长度为奇数和长度为偶数。

先来看第一种：长度为偶数。我们将 $01$ 序列分为奇数位和偶数位，此时 a_i 的异或和不为 $0$ ，所以必然要么是奇数位上有奇数个 $1$ ，要么是偶数位上有奇数个 $1$ ，于是先手可以直接控制后手所选的 $1$ 的奇偶性，故在此种情况下先手必胜。

再来看长度为奇数的情况：

假如两端都是 $0$ ，那么无论先手选哪个都会使当前后手变为长度为偶数的先手状态，于是此时先手必败；

假如一端为 $1$ ，那么先手必然要选作为 $1$ 的一端，否则必败，不是最优策略；之后先手需要跟随后手的选择，保证两者的选择完全一致，否则必败我们来简单讨论一下原因：

假如在这一步之前，所有的先手的每一步都跟随着后手选，所以此时先后手选的 $1$ 的数量的奇偶性一定不同，在这一步时，后手选了 $1$ ，先手选了 $0$ ，那么此时先后手选的 $1$ 的数量的奇偶性变为相同，于是一共选了偶数个 $1$ ，还剩奇数个 $1$ ，此时一共选了奇数个数字，于是还剩偶数个数字，此时后手作为当前局面的先手进入必胜状态；于是这样选先手必败。
在这一步时，后手选了 $0$ ，先手选了 $1$ ，与上面的证明同理，可得这样先手必败。
由于先手取走了一个 $1$ ，那么此时 $1$ 的个数为偶数，由于每一步先手都跟着后手选，所以先后手必然平分偶数个 $1$ ，如果这个个数不能被 $4$ 整除，也就意味着先手被分到了奇数个 $1$ ，加上了最初的那个 $1$ ，必败。