P2375 [NOI2014] 动物园
题目描述
近日，园长发现动物园中好吃懒做的动物越来越多了。例如企鹅，只会卖萌向游客要吃的。为了整治动物园的不良风气，让动物们凭自己的真才实学向游客要吃的，园长决定开设算法班，让动物们学习算法。
某天，园长给动物们讲解 KMP 算法。
园长：“对于一个字符串 \(S\)，它的长度为 \(L\)。我们可以在 \(O(L)\) 的时间内，求出一个名为 \(\mathrm{next}\) 的数组。有谁预习了 \(\mathrm{next}\) 数组的含义吗？”
熊猫：“对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀又是它的前缀的字符串中（它本身除外），最长的长度记作 \(\mathrm{next}[i]\)。”
园长：“非常好！那你能举个例子吗？”
熊猫：“例 \(S\) 为 \(\verb!abcababc!\)，则 \(\mathrm{next}[5]=2\)。因为\(S\)的前\(5\)个字符为 \(\verb!abcab!\)，\(\verb!ab!\) 既是它的后缀又是它的前缀，并且找不到一个更长的字符串满足这个性质。同理，还可得出 \(\mathrm{next}[1] = \mathrm{next}[2] = \mathrm{next}[3] = 0\)，\(\mathrm{next}[4] = \mathrm{next}[6] = 1\)，\(\mathrm{next}[7] = 2\)，\(\mathrm{next}[8] = 3\)。”
园长表扬了认真预习的熊猫同学。随后，他详细讲解了如何在 \(O(L)\) 的时间内求出 \(\mathrm{next}\) 数组。
下课前，园长提出了一个问题：“KMP 算法只能求出 \(\mathrm{next}\) 数组。我现在希望求出一个更强大 \(\mathrm{num}\) 数组一一对于字符串 \(S\) 的前 \(i\) 个字符构成的子串，既是它的后缀同时又是它的前缀，并且该后缀与该前缀不重叠，将这种字符串的数量记作 \(\mathrm{num}[i]\)。例如 \(S\) 为 \(\verb!aaaaa!\)，则 \(\mathrm{num}[4] = 2\)。这是因为\(S\)的前 \(4\) 个字符为 \(\verb!aaaa!\)，其中 \(\verb!a!\) 和 \(\verb!aa!\) 都满足性质‘既是后缀又是前缀’，同时保证这个后缀与这个前缀不重叠。而 \(\verb!aaa!\) 虽然满足性质‘既是后缀又是前缀’，但遗憾的是这个后缀与这个前缀重叠了，所以不能计算在内。同理，\(\mathrm{num}[1] = 0,\mathrm{num}[2] = \mathrm{num}[3] = 1,\mathrm{num}[5] = 2\)。”
最后，园长给出了奖励条件，第一个做对的同学奖励巧克力一盒。听了这句话，睡了一节课的企鹅立刻就醒过来了！但企鹅并不会做这道题，于是向参观动物园的你寻求帮助。你能否帮助企鹅写一个程序求出\(\mathrm{num}\)数组呢？
特别地，为了避免大量的输出，你不需要输出 \(\mathrm{num}[i]\) 分别是多少，你只需要输出所有 \((\mathrm{num}[i]+1)\) 的乘积，对 \(10^9 + 7\) 取模的结果即可。
数据范围
\(n \le 5, L \le 1,000,000\)
Solution:
首先我们注意到 , \(next\) 数组的定义是在 \(s_{[1,i]}\) 这个字符串中既是 \(s_{[1,i]}\) 的前缀，又是其后缀的最长字符串的长度。
然后我们要求的 \(num\) 是 \(s_{[1,i]}\) 中前后缀相等且长度不超过一半的前后缀个数。我们可以先考虑对于不限制长度的前后缀相等的前后缀计数。
记 \(cnt_i\) 表示无长度限制时 \(s_{[1,i]}\) 的所有前后缀中前后缀相等的个数。我们会发现 \(cnt_i\) 其实等价于从 \(i\) 往前跳 \(next\) 数组，跳几次之后会为 0。
我们思考为什么：
图中红色表示 \(s_{[1,i]}\) 这个字符串，前后两段绿色部分相同，四段蓝色部分相同。
我们把图画出来了之后，不难发现这样做是能保证每次跳到的 \(next\) 都能保证 \(s_{[1,nxt]}\) 既是前缀又是后缀，然后由于 \(next\) 的定义又是 既是其前缀，又是其后缀的最长字符串的长度。我们就能保证这样不会算漏。
那么我们如何保证答案符合不超过一半长度的限制呢？ 回顾一下我们求 \(next\) 时的过程，用一个辅助指针 \(j\) 来表示当前能和哪一位匹配，类似的，我们在答案统计时对于长度做这样的一个限制，首先不断地跳 \(nxet\) 直到 \(s[j+1]=s[i]\) 或者 \(j=0\),然后再看与当前后缀匹配的前缀 \(s_{[1,j+1]}\) 的长度是否超过 \(s_{[1,i]}\) 长度的一半，若超过，则继续往前跳 \(next\).正确性见前文。
Code:
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
const int N=1e6+6;
const int mod=1e9+7;
using namespace std;
ll mul(ll x,ll y){return x*y%mod;}
ll nxt[N],cnt[N],n;
char c[N];
ll ans;
void work()
{scanf("%s",c+1);n=strlen(c+1);cnt[1]=1;ans=1;int j=0;for(int i=0;i<=n;i++)nxt[i]=0;for(int i=2;i<=n;i++){while(j&&c[j+1]!=c[i])j=nxt[j];j+=(c[j+1]==c[i]);nxt[i]=j;cnt[i]=cnt[j]+1;}j=0;for(int i=2;i<=n;i++){while(j&&c[j+1]!=c[i])j=nxt[j];j+=(c[j+1]==c[i]);while((j<<1)>i)j=nxt[j];ans=mul(ans,cnt[j]+1);}printf("%lld\n",ans);
}
int main()
{//freopen("P2375.in","r",stdin);freopen("P2375.out","w",stdout);int T;cin>>T;while(T--)work();return 0;
}
