关于 cxy 论文中另一个结论的证明

该结论可以通过线性代数中的经典结论推导得到，不过还是在此处给予证明。

cxy 在 5.1 中对于带删线性基的说明中暗含“标准基线性无关”这一观点，从线性代数角度出发来证明这一事实。

回顾向量组秩的定义，为其极大线性无关向量组的大小，记为 \(\operatorname{rank}(a)\)。首先证明，若 \(b\) 能被 \(a\) 线性表出，则 \(\operatorname{rank}(b)\le\operatorname{rank}(a)\)。考虑 \(\operatorname{span}(b)\) 必定是 \(\operatorname{span}(a)\) 的子空间，因此 \(\operatorname{dim}\operatorname{span}(b)\) 不可能超过 \(\operatorname{dim}\operatorname{span}(a)\)，利用维数公式可以证明。所以 \(\operatorname{rank}(b)\le\operatorname{rank}(a)\)。

上述命题还有别的证明方式，例如设 \(r=\operatorname{rank}(a)\)，\(s=\operatorname{rank}(b)\)，则考虑 \(a\) 的极大线性无关组张成的空间中必然包含 \(b\) 的所有极大线性无关组，而该线性空间的维数即为 \(r\)，任意线性无关组的大小都不会超过 \(r\)。

我草怎么循环论证了，你先别急。