P10206 [JOI 2024 Final] 建设工程 2 / Construction Project 2
题目描述
JOI 国有 \(N\) 个火车站，编号从 \(1\) 到 \(N\)。另外，JOI 国有 \(M\) 条双向铁路线，编号从 \(1\) 到 \(M\)。铁路线 \(i\ (1 \leq i \leq M)\) 连接了火车站 \(A_{i}\) 和火车站 \(B_{i}\)，从一个站到另一个站需要花费 \(C_i\) 分钟。
你是 JOI 国的部长，决定按照以下方式新建一条铁路线：
选择两个整数 \(u, v\ (1 \leq u<v \leq N)\)，在火车站 \(u\) 和火车站 \(v\) 之间建设一条双向铁路线，从一个站到另一个站需要花费 \(L\) 分钟。注意，即使已经有一条连接火车站 \(u\) 和火车站 \(v\) 的铁路线也可以建设。
如果你建设这条铁路线后，可以花费不超过 \(K\) 分钟从火车站 \(S\) 到火车站 \(T\)，国王就会高兴。我们不考虑换乘时间和等待时间。
你有 \(\frac{N(N-1)}{2}\) 种选择两个整数 \(u, v\) 的方法，你想知道其中有多少种方法会让国王高兴。
给定火车站和铁路线以及国王的要求的信息，编写一个程序，求出其中有多少种选择整数的方法会让国王高兴。
输入格式
第一行包含两个整数 \(N,M\)。
第一行包含两个整数 \(S,T,L,K\)。
接下来 \(M\) 行，每行包含三个整数 \(A_i, B_i, C_i\)，表示第 \(i\) 条双向铁路线。
输出格式
输出一行一个整数，表示让国王高兴的两个整数的选择方法有多少种。
输入输出样例 #1
输入 #1
7 8
6 7 1 2
1 2 1
1 6 1
2 3 1
2 4 1
3 5 1
3 7 1
4 5 1
5 6 1
输出 #1
4
输入输出样例 #2
输入 #2
3 2
1 3 1 2
1 2 1
2 3 1
输出 #2
3
输入输出样例 #3
输入 #3
6 4
2 5 1000000000 1
1 2 1000000000
2 3 1000000000
2 4 1000000000
5 6 1000000000
输出 #3
0
输入输出样例 #4
输入 #4
18 21
4 8 678730772 3000000062
5 13 805281073
8 17 80983648
3 8 996533440
10 16 514277428
2 5 57914340
6 11 966149890
8 12 532734310
2 9 188599710
2 3 966306014
12 16 656457780
16 18 662633078
1 15 698078877
2 8 665665772
2 6 652261981
14 15 712798281
7 13 571169114
13 14 860543313
6 7 454251187
9 14 293590683
6 14 959532841
3 11 591245645
输出 #4
16
说明/提示
对于所有输入数据，满足：
- \(2 \leq N \leq 2\times 10^5\)
- \(1 \leq M \leq 2\times 10^5\)
- \(1 \leq S<T \leq N\)
- \(1 \leq L \leq 10^{9}\)
- \(1 \leq K \leq 10^{15}\)
- \(1 \leq A_{i}<B_{i} \leq N\ (1 \leq i \leq M) (A_{i}, B_{i}) \neq (A_{j}, B_{j})\ (1 \leq i<j \leq M)\)
- \(1 \leq C_{i} \leq 10^{9}\ (1 \leq i \leq M)\)
详细子任务附加限制及分值如下表所示。
| 子任务 | 附加限制 | 分值 |
|---|---|---|
| 1 | \(L=1, K=2, C_{i}=1\ (1 \leq i \leq M)\) | 8 |
| 2 | \(N \leq 50, M \leq 50\) | 16 |
| 3 | \(N \leq 3000, M \leq 3000\) | 29 |
| 4 | 无附加限制 | 47 |
题解
新建线路后，我们有两种策略考虑从火车站 \(S\) 到火车站 \(T\) 用时
-
不使用新线路：
如果新建线路前已存在 从火车站 \(S\) 到火车站 \(T\) 最短用时 小于 \(K\) ，则在任意两个火车站间建设线路均符合题意。方案数为 \(\frac{N(N-1)}{2}\) -
使用新线路：
记 \(S\) 和 \(T\) 到 \(X\) 的用时为 \(diss(X)\) 、\(dist(X)\) 连接火车站U、V
新的用时为 \(diss(U) + L + dist(V)\) 。
暴力跑到的时间复杂度为 \(O(n^2)\) 显然超时，考虑对 \(dist\) 排序二分优化\(O((m + n) log n)\)
代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;
using ll = long long;
using pii = pair<ll, ll>;ll n, m, s, t, l;
ll k;
vector<vector<pii>> g;
vector<ll> diss, dist;void init();
void dijkstra(int s, vector<ll>& dis);
int main() {init();// 计算s t到其他点的用时dijkstra(s, diss);dijkstra(t, dist);// 考虑不使用if (diss[t] <= k) {cout << n * (n - 1) / 2 << endl;return 0;}// 考虑使用sort(dist.begin() + 1, dist.end());ll ans = 0;for (auto x : diss) ans += upper_bound(dist.begin() + 1, dist.end(), k - l - x) - dist.begin() - 1;cout << ans << endl;return 0;
}void dijkstra(int s, vector<ll>& dis) {priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii>> pq;dis[s] = 0;pq.push({ 0, s });while (!pq.empty()) {auto [d, u] = pq.top();pq.pop();if (d > dis[u]) continue;for (auto [v, w] : g[u]) {if (dis[u] + w >= dis[v])continue;dis[v] = dis[u] + w;pq.push({ dis[v], v });}}
}void init() {cin >> n >> m >> s >> t >> l >> k;g.resize(n + 1);diss.resize(n + 1, 0x3f3f3f3f3f3f3f3f);dist.resize(n + 1, 0x3f3f3f3f3f3f3f3f);for (int i = 1; i <= m; i++) {ll u, v, w;cin >> u >> v >> w;g[u].push_back({ v, w });g[v].push_back({ u, w });}
}
