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貌似没有比较通俗介绍红绿灯期望介绍方法的？我来一发不需要积分基础能看懂的严谨证明~
题目大意
这道题 luogu 题面不太清晰，大意给定一张无向图，你需要开车从起点走到终点，有些点会设红绿灯，给出每个红绿灯的红灯时间和绿灯时间，你见到红绿灯时红绿灯的状态随机 \(^1\)，你只能连续开油箱中储存油量时间车（等红绿灯也会耗油），到加油站会补油，求到终点的最优路线，使得：
- 期望时间最短
- 经过红绿的数量不多于给定值。
\(1\): 状态随机指在红绿灯循环周期中的一个随机时刻（可以不是整数）
题解
先说结论，红绿灯的期望通过时间是 \(\frac{red^2}{2(red+green)}\)。
注意到当我们在周期的 \(x\) 时进入的话，贡献就是 \(max(\frac{red-x}{red+green},0)\) ，对 \(0\) 取 \(max\) 的原因是如果进入的时间大于 \(red\) 那么就直接通过了，然后我们以 \(8\) 秒红灯，\(1\) 秒绿灯画出函数图像：
那么对 \(0\) 取 \(max\) 就相当于不计算函数值为负的图像，再加上 \(x\) 只能为正就是只算第一象限，不难发现第一象限的贡献之和就是一个三角形：
然后当 \(x\) 取到 \(0\) 时有三角形的高 \(\frac{red}{red+green}\)，三角形的底就是在第一象限时 \(x\) 能取到的最大值 \(red\)，于是有总期望为：
\[
\frac{red}{red+green}*red*\frac{1}{2}
=
\]
